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A new system of simple groups. (English) JFM 36.0206.01
Das neue System einfacher Gruppen, das der Verf. findet, ist ein solches der Ordnung \(2^{6q} (2^{6q}-1)(2^{2q}-1)\), wobei \(q\) jede positive ganze Zahl, die \(>1\) ist, bedeutet. “Für \(q=1\) hat die Gruppe der Ordnung 12096 eine einfache Untergruppe des Index 2, also der Ordnung 6048. Die letztere ist mit der einfachen Gruppe aller ternären hyperorthogonalen Substitutionen der Determinante 1 mit Koeffizienten aus dem Galoisschen Felde \(GF[3^2]\) (vgl. über \(HO[3, 3^2]\) Dickson, Linear groups with an exposition of the Galois Field theory 1901, § 290) holoedrisch isomorph. Für die isomorphe abstrakte Gruppe werden die allgemeinen Relationen bestimmt, ferner wird ihre Darstellung als transitive Permutationsgruppe von 36 Buchstaben nachgewiesen. Für \(q=1\) ist die Gruppe der Ordnung 12096 mit einer Untergruppe des Index 120 der senären Abelschen Gruppe mit Koeffizienten mod. 2 der Ordnung \(2^9 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7\) holoedrisch isomorph. Die eben genannte senäre Abelsche Gruppe der Ordnung 1451520 ist bekanntlich (C. Jordan, Traité des substitutions, p. 229, 1870. – L. E. Dickson, American M. S. Trans. 3, 377; ”F. d. M. 33, 153, 1902, siehe JFM 33.0153.02 u. JFM 33.0153.03”) mit der Gruppe der Gleichung für die 28 Doppeltangenten einer Kurve vierter Ordnung ohne Doppelpunkte holoedrisch isomorph. Sie hat daher Resolventen der Grade \(63=2^6-1\) und 120, von denen die letztere bisher nicht bemerkt wurde.” Das neue Gruppensystem der Ordnung \(2^{6q}(2^{6q}-1)(2^{2q}-1)\) ergibt sich dem Verf. als Analogon zu der einfachen 14-gliedrigen endlichen kontinuierlichen, von Killing, Engel und Cartan untersuchten Transformationsgruppe, die sich in die vier großen Lieschen einfachen Gruppengattungen nicht einordnen läßt. Der behandelte Gruppentypus ist eine Untergruppe der linearen homogenen Gruppe in sieben Variabeln mit Koeffizienten aus dem Galoisschen Felde \(GF[2^q]\), welche die quadratische Form: \(\xi_0^2+ \sum_{i=1}^{i=3} \xi_i \xi_{i+3}\) invariant läßt. Falls die Koeffizienten der Substitutionen einem Körper \(F\) angehören, der kein Galoissches Feld \(GF[2^q]\) ist, hat Verf. diese Gruppe in sieben Variabeln bereits in American M. S. Trans. 2, 383-391 (F. d. M. 32, 133, 1901, JFM 32.0133.01) untersucht.

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