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Definitions of a group and a field by independent postulates. (English) JFM 36.0207.01

Verf. definiert eine Gruppe \(G\) abstrakt durch folgende vier Postulate, die von einander unabhängig sind:
1. Das Produkt irgend zweier Elemente von \(G\) ist ein eindeutig bestimmtes Element von \(G\).
2. Die Produktbildung ist assoziativ.
3. \(G\) enthält wenigstens ein rechtshändiges Element \(i\), so daßfür jedes Element \(a\) von \(G\) die Gleichung \(ai=a\) gilt.
4. Existieren Elemente \(i\), so soll für ein besonderes \(i\) und für jedes \(a\) die Gleichung \(aa'=i\) innerhalb \(G\) lösbar sein.
Ein besonderer Vorzug dieser Gruppendefinition ist, daß die Postulate auch von einander unabhängig bleiben, wenn man die Elementenzahl beschränkt oder die Gruppe kommutativ voraussetzt. Die gegebene Definition ist eine Modifikation der ersten Mooreschen in den [Trans. Am. Math. Soc. 3, 485–492 (1902; JFM 33.0142.01)]; auch über ihr Verhältnis zu der gleichzeitigen Mooreschen Publikation (vgl. oben S. 193) spricht sich Verf. aus. An seine Gruppendefinition anknüpfend, gibt Verf. eine abstrakte Definition eines Feldes oder Körpers durch elf unabhängige Postulate; sie gilt gleichmäßig, ob das elfte Postulat lautet: die Elementenzahl des Feldes ist endlich (Galoisscher Körper), oder bildet eine abzählbare oder eine nicht abzählbare, unendliche Menge. Wegen der bisherigen Definitionen des Feldes durch unabhängige Postulate vgl. man das Referat Huntington (S. 191 (JFM 36.0191.01)).

MSC:

20-XX Group theory and generalizations
12K05 Near-fields
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