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On semi-groups and the general isomorphism between finite groups. (English) JFM 36.0207.02

Als Halbgruppe definiert Verf. ein System \(G\) von Elementen, das den folgenden vier von einander unabhängigen Postulaten genügt:
1. Das Produkt irgend zweier Elemente von \(G\) ist ein eindeutig bestimmtes Element von \(G\).
2. Die Produktbildung ist assoziativ.
3, 4. Sind \(a, x, y\) Elemente aus \(G\), und ist \(ax=ay\) oder \(xa=ya\), so soll in jedem der zwei Fälle notwendig \(x=y\) sein.
Unter der Hinzufügung des Postulates, daß\(G\) nur eine endliche Anzahl von Elementen besitzen soll, ist dies die H. Webersche Definition einer endlichen Gruppe (Lehrbuch der Algebra, Bd. II, 1. Abschnitt, §1). \(G\) und \(G'\) seien zwei Gruppen; für sie sei ein Isomorphismus als derartige wechselseitige Beziehung der Elemente definiert, daßjedem Element der einen Gruppe eines oder mehrere der anderen entsprechen und, falls den Elementen \(a_i\) und \(a_j\) aus \(G\) die Elemente \(a_i'\) und \(a_j'\) aus \(G'\) entsprechen, zwischen \(a_i a_j\) und \(a_i' a_j'\) ebenfalls ein Entsprechen stattfindet. Seien \(G_1\) (bzw. \(G_1'\)) die Elemente aus \(G\) (bzw. \(G'\)), die dem Einheitselement aus \(G'\) (bzw. \(G\)) entsprechen, so bilden \(G_1\) und \(G_1'\) Halbgruppen, nicht stets notwendig Gruppen. Ist eine der Halbgruppen \(G_1\) oder \(G_1'\) eine Gruppe, so ist es auch die andere.

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