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On the real elements of certain classes of geometrical configurations. (English) JFM 36.0209.01

In seinem Traité des substitutions (Livre III, Chap. III) hat C. Jordan eine große Anzahl geometrischer Probleme durch gruppentheoretische Behandlung der mit ihnen verknüpften algebraischen Gleichungen diskutiert. “Für diejenige Klasse von Problemen, die der Behandlung mittels Abelscher Funktionen zugänglich ist und fünf von Jordans speziellen Problemen enthält, hat Edm. Maillet in seiner neuen umfangreichen Arbeit (Referat S. 211 (JFM 36.0211.01)) eine allgemeine Theorie gegeben. Die Elemente der Konfiguration können durch einen Buchstaben bezeichnet werden, dessen Indizes ganze Zahlen mod.\(r\) sind”. An Stelle der komplizierten Mailletschen Diskussion gibt Verf. ein direktes einfaches Beweisverfahren des allgemeinen von Maillet benutzten gruppentheoretischen Satzes und beseitigt die Mailletsche Beschränkung, daß\(r\) eine Primzahlpotenz sein soll. “Bei seiner Anwendung der Gruppentheorie auf geometrische Probleme beschäftigte sich Jordan nur mit den Schwierigkeiten, die in der tatsächlichen Bestimmung der Elemente der Konfiguration liegen; daher zerlegte er die entsprechende algebraische Gleichung in ihre Resolventen. Maillet macht einen bemerkenswerten Fortschritt – und dies ist der wichtigste Teil seiner Arbeit –, er wendet die Gruppentheorie zur Bestimmung der Anzahl reeller Elemente der Konfiguration an”. Verf. kürzt Maillets Entwicklungen bedeutend ab. Die Frage nach der Realität der 27 Geraden einer kubischen Fläche behandelt Maillet isoliert und leitet dann hieraus das Resultat ab, daßvon den 28 Doppeltangenten einer Kurve vierter Ordnung keine, 4, 8, 16 oder 28 reell sind (Maillet, S. 323). Verf. greift diese zwei Probleme in umgekehrter Reihenfolge an und zeigt im Einklang mit Zeuthens Ergebnissen (Math. Ann. 7), daßder Fall, es sei keine reelle Doppeltangente vorhanden, unmöglich ist. Schließlich behandelt Dickson, über die \(C_4\) hinausgehend, noch die \(C_n\) gruppentheoretisch und findet die Realitätsverhältnisse bei ihr, wie sie F. Klein (Math. Ann. 42, 26 und 27) mittels funktionentheoretischer Methoden (vgl. Berzolari in der Enzyklopädie der math. Wiss. III, 2, S. 392) bestimmt hat. “Ist \(C_n\) eine reelle Kurve \(n\)-ter Ordnung ohne Doppelpunkte und \(p=\frac 12(n-1)(n-2)\), so sind von den \(2^{2p-1}- 2^{p-1}\) Kurven der Ordnung \(n-3\), die mit der \(C_n\) in \(\frac 12 n(n-3)\) Punkten eine einfache Berührung eingehen, entweder alle oder \(2^{2p-2k-1}- 2^{p-1}\) \((k=1, \dots , \pi)\) oder \(2^{2p-1-k}\) \((k=1, \dots, p)\) reell; hierbei ist \(\pi= \frac p2\) oder \(\frac {p-1}2\).”

Citations:

JFM 36.0211.01
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