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The finite, discontinuous primitive groups of collineations in four variables. (English) JFM 36.0214.01

Eine größere Anzahl wichtiger endlicher Gruppen linearer homogener Substitutionen in vier Variabeln ist durch die Arbeiten verschiedener Autoren bekannt. (Zu vgl. Wiman in seinem Artikel über die endlichen Gruppen linearer Substitutionen im Bd. I der Enzyklopädie der math. Wiss.) Von der Bestimmung aller endlichen quaternären Gruppen linearer homogener Substitutionen heißt es a. a. O.: “aber schon bei den quaternären Gruppen erhielt er (Jordan) eine so komplizierte Fundamentalgleichung, daß ihre Diskussion kaum möglich scheint” (S. 528). Auf Grund seiner früheren Arbeiten (American M. S. Trans. 4, 387 und 5, 310; F. d. M. 34, 176, 1903, JFM 34.0176.02 und 35, 160, 1904, JFM 35.0160.01) erledigt Verf. in dem vorliegenden Aufsatz die noch offene Frage der Bestimmung aller endlichen quaternären linearen homogenen Substitutionsgruppen für die von ihm so genannte Klasse der primitiven Gruppen. Es sei daran erinnert, daß man die Gruppen linearer homogener Substitutionen in reduzible (von Maschke und vom Verf. intransitiv genannt) und irreduzible (transitive) einteilen kann. Die letzteren hat Verf. früher (F. d. M. 34, 177, 1903, JFM 34.0176.02) in primitive undimprimitive klassifiziert. Verf. gelangt zu dem Resultat: Jede endliche primitive lineare homogene Substitutionsgruppe in vier Variabeln ist einem der 30 von Blichfeldt angegebenen, nicht ineinander transformierbaren Typen ähnlich. Sieben dieser Typen haben invariante reduzible Untergruppen, neun besitzen invariante imprimitive Untergruppen; sechs Typen sind einfache Gruppen und acht enthalten invariante primitive Untergruppen. Wegen der endgültigen Bestimmung aller endlichen quaternären Gruppen linearer homogener Substitutionen vgl. man das folgende Referat (JFM 36.0214.02).

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References:

[1] For a bibliography and brief résumé of the work done in this field consult Wiman: ”Endliche Gruppen linearer Substitutionen”, Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften, Bd. I, pp. 522–554.
[2] Journal für Mathematik, 84 (1878), p. 89. The Theorem is as follows: every linear homogeneous group (G) inn variables has an abelian self-conjugate subgroup (F) of orderf, and the order ofG is {\(\lambda\)}f, where {\(\lambda\)} is inferior to a fixed number which depends only uponn.
[3] ”On the Order of Linear Homogeneous Groups”, First and Second Paper, Transactions of the American Math. Society, 4 (1903), pp. 387–397, and 5 (1904), pp. 310–325. These papers shall be referred to hereafter by ”L-GI” and ”L-GII”, respectively.
[4] Maschke, Math. Ann. 52 (1899), p. 363, and Loewy, Transactions of the American Math. Soc., 4 (1903), p. 44, have proved that if a group of finite order leaves invariant a plane (x=0), then it must also leave invariant the pencil 205-1. · JFM 30.0131.01
[5] “Sur les substitutions orthogonales etc.{” Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, (3), T. 6 (1889), pp. 9–102.}
[6] See Maschke, American Journal of Mathematics XVII (1895), p. 168. – The author has, in ”L-GII”, § 5, called such groupssemi-canonical. · JFM 26.0175.01
[7] Burnside, Theory of Groups, p. 206. · JFM 01.0176.03
[8] Hölder, Math. Ann., 40 (1892), p. 55, – Cole, American Journal of Math., 14 (1892), p. 378, and 15 (1893), p. 303. – Burnside, Proc. London Math. Soc., 26 (1895) p. 333. – Ling and Miller, American Journal of Math., 22 (1900), p. 13. · JFM 24.0135.03
[9] Jordan Comptes Rendus, 75 (1872), p. 1754. – Miller, Quarterly Journal of Mathematics, 29 (1897), p. 225; Proc. London Math. Soc., 28 (1897), p. 533; American Journal of Math., 20 (1898), p. 229.
[10] We shall assume that the primitive groups in 3 variables have all been determined. See the papers by Jordan, Journal für Math., 84 (1878), p. 89; Valentiner, Kjóbenhavnske Skr. (6) Vol. 5 (1889), p. 64; Wiman, Math. Annalen 47 (1896), p. 532; and the author, ”L-GII”, §§ 13–17.
[11] Berl. Sitzungsb. (1902), p. 455.
[12] Berl. Sitzungsb. (1895), p. 988.
[13] See the footnote **), Berl. Sitzungsb. (1895), page 205.
[14] Burnside, Theory of Groups, p. 374. · JFM 01.0176.03
[15] Klein, Math. Ann. 28 (1887) p. 519 gives the generating substitutions of the simpleG 1/2{\(\cdot\)}71 containing thisG 168 as a sub-group.–See Maschke, International Math. Congress in Chicago 1893 (papers published by Macmillan and Co., 1896), p. 175.
[16] Wiman, Math. Ann. 52 (1899), p. 243.–Maschke, Math. Ann. 51 (1899), p. 292. · JFM 30.0126.01
[17] This is the form in which it is given by Maschke, Intern. Math. Congress. in Chicago, 1893, l. c.
[18] Witting, Inaugural-Dissertation, Göttingen (1887), p. 27, gives a set of generating substitutions for this group from which the set given here is constructed by Maschke, Math. Ann. 33 (1889), p. 320. The substitutionB is omitted, asB=E 2 for the collineation-group.
[19] Cf. Maschke, Math. Ann. 33, p. 324.
[20] Burnside, Theory of Groups, p. 246. · JFM 01.0176.03
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