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Zur Theorie der linearen Gleichungen. (German) JFM 36.0234.03
Sind \(u_\alpha= a_{\alpha 1} x_1+ \cdots + a_{\alpha n} x_n\) beliebig viele homogene lineare Funktionen der \(n\) Variabeln \(x_1, \dots , x_n\), so ist die Anzahl der linear unabhängigen unter ihnen gleich dem Range \(r\) ihres Koeffizientensystems \(a_{\alpha \beta}\). Werden dann die \(r\) ersten Funktionen als unabhängig vorausgesetzt, so sind die linearen Gleichungen \(u_{r+1}=0\), \(u_{r+2}=0, \dots\) eine Folge der \(r\) unabhängigen Gleichungen \(u_\alpha=0\) \((\alpha=1, \dots , r)\). Ein vollständiges System von Lösungen dieser Gleichungen sei \[ x_1=b_{\alpha 1}, \quad x_2=b_{\alpha 2}, \dots,x_n=b_{\alpha n}. \] Dann hat das Koeffizientensystem \(b_{\alpha \beta}\) den Rang \(s=n-r\), und die Größen \(x_1= a_{\alpha 1}, \dots, x_n=a_{\alpha n}\) bilden ein vollständiges System von Lösungen der linearen Gleichungen \(v_\alpha =b_{\alpha 1} x_1+\cdots+b_{\alpha n} x_n=0\). Der Verf. nennt die beiden Systeme linearer Funktionen \(u_\alpha, v_\alpha\) adjungierte Systeme und die Systeme \(a_{\alpha \beta}\) \((\alpha=1, 2, \dots, n; \;\beta=1, 2, \dots, r)\) und \(b_{\alpha \beta}\) \((\alpha=1, 2, \dots, n;\;\beta=1,2, \dots ,s)\) adjungierte Matrizen. Diese beiden Matrizen \(R_{r, n}\) und \(S_{s, n}\) werden nun jede in zwei Teilmatrizen zerlegt, was durch das Schema angedeutet wird: \[ R_{r, n}= A_{r, r'} | B_{r, s'} \quad , \quad S_{s, n}= C_{s, r'} | D_{s, s'} , \] wobei \(r+s=r'+s'=n\) ist. Hiernach beweist der Verf. folgenden, durch seine Einfachheit bemerkenswerten Satz: Haben die Matrizen \(A\) und \(D\) die Rangzahlen \(\varrho\) und \(\sigma\), dann gilt die Relation: \[ \varrho-\sigma= r-s'=r'-s. \]
Am Schluß wird eine Angabe der Édition française de l’Encyclopédie t. I, vol. I, fasc. I, p. 90 richtig gestellt, wo die von Weierstraß herrührende funktionentheoretische Definition der Determinanten Kronecker zugeschrieben ist.

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Full Text: DOI Crelle EuDML