On some inequalities in the theory of Riemann zeta function. (Sur quelques inégalités dans la théorie de la fonction \(\zeta (s)\) de Riemann.) (French) JFM 36.0263.03

Landau, E.

S. M. F. Bull. 33, 229-241 (1905).

Mellin hat für die \(\zeta\)-Funktion die Relationen bewiesen: \[ \begin{aligned} &| \zeta (\sigma+ti)|=O(t^{1-\sigma}), \quad \text{wenn} \quad 0<\sigma<1,\\ & |\zeta (\sigma+ti)|=O(\lg t), \quad \text{wenn} \quad \sigma=1,\end{aligned} \] wo \(\sigma, t\) Variabeln sind und \(O(g(t))\) eine Funktion ist, für die \[ \lim_{t=\infty}\;\frac{O(g(t))}{g(t)} \] zwischen endlichen Grenzen bleibt. Diese Betrachtung hat Mellin verfeinert, indem er noch die folgende Relation hinzufügte: \[ |\zeta (\sigma+ti)|=O(\sqrt t), \quad \text{wenn} \quad 0<\sigma< \tfrac 12. \] Dem Verf. gelingt es, diese Mellinschen Relationen durch die beiden folgenden, noch genaueren, zu ersetzen: \[ |\zeta (\sigma +ti)|=O(t^{\frac 12 - \frac 14 \sigma} \sqrt{\lg t} ), \quad \text{wenn} \quad 0< \sigma \leqq \tfrac 12, \]
\[ |\zeta (\sigma+ti)|=O(t^{\frac 34(1-\sigma)} \sqrt{\lg t}), \quad \text{wenn} \quad \tfrac 12 \leqq \sigma <1. \] Zum Beweise wird wesentlich in den auftretenden Reihenentwicklungen der Voronoïsche Satz über die Funktion \[ \tau(x)=\sum_{n=1}^x \left[ \frac xn \right] \] angewendet, daß nämlich \[ \tau (x)=x \lg x +(2C-1)x +O ( \root 3 \of x \lg x). \] Im letzten Abschnitt beweist der Verf. für die Funktion \[ Q(x)= \sum_{n=1}^x \,\{ \mu(n) \}^2 \] die Beziehung: \[ Q(x)= \frac 6{\pi^2} \;x+ O \left( \frac {\sqrt x}{\lg \lg x} \right). \]

Reviewer: Fueter, Prof. (Basel)

MSC:

11M06	\(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\)
11N25	Distribution of integers with specified multiplicative constraints

JFM Section:

Dritter Abschnitt. Niedere und höhere Arithmetik. Kapitel 2. Zahlentheorie. A. Allgemeines.

Keywords:

the order of \(\zeta(s)\) in the critical strip; distribution of squarefree numbers