Sur la sommation des séries. (French) JFM 36.0322.01

Andoyer, H.

S. M. F. Bull. 33, 36-41 (1905).

Es sei eine konvergente Reihe \(u_n \;(n=n_0, n_0+1, n_0+2,\dots)\) gegeben, der Quotient \(u_{n+1}: u_n\) sei in die Reihe \(\alpha_0 +\frac{\alpha_1}n +\frac{\alpha_2}{n^2} +\cdots +\frac{\alpha_q}{n^q} +\frac{A_{q+1}}{n^{q+1}}\) entwickelbar, wo \(q\) eine beliebige ganze positive Zahl, \(\alpha_0, \alpha_1, \dots, \alpha_q\) Konstanten, \(A_{q+1}\) eine Funktion von \(n\) bedeutet, die für \(n=\infty\) eine Grenze besitzt.
Setzt man \(s_n=u_{n_0} +u_{n_0+1} + \cdots + u_{n+1} +u_n\), \(r_n=u_{n+1}+u_{n+2} +\cdots\), so ist die Summe der Reihe \(S=s_n+r_n\). Bezeichnet man durch \(z_n\) eine Funktion von \(n\), die für \(n=\infty\) die Grenze 0 hat, und setzt man \(u_n'=u_n +z_{n+1} -z_n\), so ist die Reihe der Größen \(u_n'\) konvergent; setzt man \(r_n' =u_{n+1}' +u_{n+2}'+\cdots\), so erhält man \(r_n=z_{n+1} =r_n'\); setzt man \(z_n=u_n t_n\), so erhält man \[ u_n'=u_n \left( 1-t_n +\frac{u_{n+1}}{u_n}\;t_{n+1} \right), \] wo \(r_n=u_{n+1} t_{n+1} +r_n'\) ist. Durch passende Wahl von \(t_n\) kann man einen angenäherten Wert von \(r_n\) zwischen leicht zu bestimmenden Grenzen und dadurch auch \(S_n\) mit einer fixierbaren Annäherung erhalten.
Für die Wahl von \(t_n\) werden die Fälle \(\alpha_0<1\) und \(\alpha_0 =1\) unterschieden und die Beispiele \(u_n=\frac{(-1)^{n-n_0} C}{n-1}, C, n_0\) konstant (\(C=1\), \(n_0=2\), \(n=10\) liefert für \(\log 2=1-\frac 12 +\frac 13 -\frac 14 +\cdots\) das Ergebnis: \(S_n\) liegt zwischen 0,69314742 und 0,69314692) und \(u_n=1:(n-1)^2\) behandelt.

Reviewer: Weltzien, Prof. (Zehlendorf)

JFM Section:

Fünfter Abschnitt. Reihen. Kapitel 1. Allgemeines.