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Eine Verallgemeinerung des zweiten Mittelwertsatzes der Integralrechnung. (German) JFM 36.0365.01
Deutsche Math. Ver. 14, 85-92 (1905); Verh. Naturf. Ges. Breslau \(\text{2}_1\), 8-9 (1905).
Es handelt sich um eine Verallgemeinerung des zweiten Mittelwertsatzes, die das genaue Analogon einer von Weierstraß herrührenden Verallgemeinerung des ersten Mittelwertsatzes ist. Wenn \(\psi(x)\) in \((a, b)\) monoton ist und \(f_1 (x) , \dots, f_n (x)\) in \((a, b)\) im Riemannschen Sinne integrierbar sind,so gelten die Formeln \[ \int_a^b f \psi dx =\sum_{\varrho=1}^n \lambda_\varrho \left\{\psi(a) \int_a^{\xi \varrho} f_i dx+ \psi(b) \int_{\xi \varrho}^b f_i dx \right\} \] \[ (i=1, 2, \dots, n). \] Dabei sind \(\xi_1, \dots, \xi_n\) gewisse Werte aus \((a, b)\), und \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\) erfüllen die Bedingungen \[ \lambda_1, \dots,\lambda_n \geqq 0,\quad \lambda_1+\cdots + \lambda_n=1. \]

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Full Text: EuDML