The linear difference equation of the first order. (English) JFM 36.0406.04

Barnes, E. W.

Lond. M. S. Proc. (2) 2, 438-469 (1905).

In der vorliegenden Arbeit beabsichtigt Verf., die Natur der Funktionen zu untersuchen, welche durch lineare Differenzengleichungen erster Ordnung definiert werden. Hauptsächlich werden folgende drei Fragen behandelt: 1. die Existenz einer Lösung, 2. ihr analytischer Ausdruck, 3. ihre Stellung unter den transzendenten Funktionen (vergl. des Verf. Arb. Lond. M. S. Proc. (2) 2, 280-292; F. d. M. 35, 347, 1904, JFM 35.0347.01). 1. Einleitung. Historische Übersicht (Arbeiten von Boole, Guichard, Appell, Mellin, Prym, Hurwitz und dem Verf.). – 2. Reduktion der allgemeinen Differenzengleichung erster Ordnung auf zwei Hauptgleichungen. – 3. Definitionen. – 4-7. Lösung von \(f(z+\omega)=\varphi(z) f(z)\), wo die Funktion \(\varphi(z)\) holomorph, von endlicher Ordnung, ohne fremden Exponentialfaktor ist, deren Nullstellen sämtlich in derjenigen “negativen” Halbebene liegen, die durch das auf \(O \omega\) im Anfangspunkte \(O\) errichtete Lot begrenzt wird, und in welcher \(\omega\) nicht liegt. – 8. Lösung derselben Gleichung für den Fall, daßdie Nullstellen in der anderen “positiven” Halbebene liegen. – 9, 10. Lösung von \(f(z+\omega)=\mu(z) f(z)\), wo \(\mu(z)\) meromorph und möglicherweise von unendlicher Ordnung ist. – 11, 12. Die Riemannsche \(\zeta\)-Funktion und ihre Modifikation. Lösung von \(f(z+\omega)-f(z)=G(z)\), wo \(G(z)\) eine ganze Funktion ist. – 13. Vervollständigung von 10. – 14, 15. Andere Formen der Lösung von \(f(z+\omega)=\mu(z) f(z)\). – 16. Ausdehnung auf Fälle, wo \(\mu(z)\) “wiederholte” Nullstellen oder Pole besitzt oder Nullstellen der Form \(a+m_1 \omega_1 +\cdots + m_r \omega_r\). – 17-22. Lösung von \(f(z+\omega)-f(z) =\mu(z)\) in drei verschiedenen Formen. – 23. Natur der Lösung von \(\varphi(z) f(z+\omega) -\chi(z) f(z) =\psi(z)\). – 24. Beispiele.

Reviewer: Wallenberg, Prof. (Charlottenburg)

JFM Section:

Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 5. Gewöhnliche Differentialgleichungen und Differenzenrechnung. B. Differenzenrechnung.

Citations:

JFM 35.0347.01