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Sur le problème de Monge. (French) JFM 36.0421.01
Nach einigen einleitenden Betrachtungen über die Geometrie des \(n\)-dimensionalen Raumes wird ein Mongesches System von \(k\) Gleichung \((k\leqq n-1)\) \[ (1) \quad f_i(x_1, x_2, \dots, x_{n+1}; dx_1, dx_2, \dots, dx_{n+1})=0 \;(i=1, 2, \dots, k), \] wo die \(f_i\) homogene Funktionen in bezug auf \(dx_1, \dots, dx_n\) sind, und das vom Verf. sogenannte zugehörige “assoziierte System” von partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung betrachtet: \[ (2) \quad F_i(x_1, x_2, \dots, x_{n+1} ; p_1, p_2, \dots, p_n) =0 \;(i=1, 2,\dots, k). \]
Zunächst wird er Fall \(k=n-1\) behandelt. Die Methode von Monge ist dann anwendbar, wenn das System (2) ein Involutionssystem ist; wenn dann \(V(x_1, \dots, x_{n+1} , a,b)=0\) das vollständige Integral des Systems (2) für \(k=n-1\) ist und \(b=\varphi(a)\) gesetzt wird, so stellt \[ V= 0, \quad \frac{dV}{da} =0, \quad \frac{d^2V}{da^2}=0, \dots, \frac{d^nV}{da^n} =0, \] wie im Falle \(n=2\) von Monge, so hier für beliebiges \(n\) das allgemeine Integral des Systems von Monge dar.
Die Methode kann auch angewendet werden, wenn \(k<n-1\) ist; denn wenn es gelingt, \(n-1-k\) Gleichungen von derselben Art, so hinzuzufügen, daß das System (2) ein Involutionssystem ist, wie an Beispielen gezeigt wird.

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Full Text: DOI Numdam EuDML