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Eine historische Bemerkung zur Funktionentheorie. (German) JFM 36.0443.02

Während Schröder 1876 und Weierstraß erst 1880 Reihen angaben, die in verschiedenen Gebieten verschiedene Funktionen darstellen, hat, wie in der vorliegenden Bemerkung mitgeteilt wird, Kronecker bereits im Winter 1865/66 dem Verf. eine Reihe mitgeteilt, die im Innern des Einheitskreises den Wert 1, im Äußern den Wert \(-1\) als Summe besitzt. Man erhält diese Reihe, wenn man \(-\frac 12 \lg \frac{1+x}{1-x}\) in eine Reihe der Form \(\sum_{\lambda=1}^\infty \frac{c(\lambda)}{x^\lambda - x^{-\lambda}}\) entwickelt und dann nach \(x\) differenziert. Man erhält so die Reihe \(\left( x- \frac 1x \right) \sum_{\lambda=1}^\infty \lambda c (\lambda) \frac{x^\lambda +x^{-\lambda}}{(x^\lambda -x^{-\lambda}) ^2}\), die die angegebene Eigenschaft besitzt und in unendlich vielen Punkten der Kreislinie unendlich wird. Es schließt sich an diese Mitteilung noch eine nähere Bestimmung der Koeffizienten \(c(\lambda)\).
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References:

[1] Zeitschr. f. Math. u. Phys. Bd. 22, Seite 183.
[2] Weierstraß Werke Bd. 2, S. 201.
[3] Journ. f. r. u. a. Math. Bd. 54, Seite 21, oder Dirichlets Vorlesungen über-Zahlentheorie §138.
[4] Weierstraß Werke Bd. 2, Seite 208.
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