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Über die Nullstellen der Funktionen \(E_\alpha (x)\). (German) JFM 36.0472.01

Zu den merkwürdigen Eigenschaften der Mittag-Lefflerschen Transzendenten \(E_\alpha (x)\) (F. d. M. 34, 435, 1903, JFM 34.0435.01) gehört auch, daßsich die Frage nach der Lage und nach der Dichtigkeit der Nullstellen in sehr einfacher Weise beantworten läßt, und zwar beruht dieser von Wiman bemerkte Umstand auf der von Mittag-Leffler in seiner fünften Note gegebenen Darstellung: \[ E_\alpha(x)= \tfrac 1 \alpha \sum_k e^{r^{ \frac 1 \alpha} e^{i \frac{ \varphi+2 k \pi}\alpha }} + \frac 1{ 2 \pi i \alpha} \int \frac{ e^{\omega^{\frac 1 \alpha}} d \omega}{\omega -x} \qquad (x= r e^{i \varphi}); \] die Summation bezieht sich auf alle positiven und negativen Zahlen mit Einschlußder Null, für die die Ungleichheit besteht: \[ - \alpha \pi < \varphi+ 2k \pi < + \alpha \pi, \] und die Integration wird über die beiden Halbstrahlen \(\varphi \mp \alpha \pi\) in ihrer ganzen Länge ausgeführt. Indem Wiman \(1/ (\omega -x)\) nach fallenden Potenzen von \(x\) bis zur Potenz \(x^{-n}\) entwickelt, erhält er die halbkonvergente Darstellung: \[ E_\alpha (x) =\tfrac 1 \alpha \,\sum_k e^{ r^{\frac 1 \alpha} e ^{\frac{\varphi+2k \pi} \alpha}} - \sum_{\nu=1}^n\;\frac{x^{-\nu}}{\varGamma(- \alpha \nu +1)} +\frac 1 { 2 \pi i \alpha x^n} \int \frac{\omega^n e^{\omega^{\frac 1 \alpha}} d \omega}{\omega-x}\,, \] bei der, wenn \(n\) hinreichend großist, das Restglied höchstens von der Größenordnung \[ e^{-r^{\frac 1 \alpha}} \] wird.
Hierbei wird angenommen, daß\(\alpha\) eine positive reelle Zahl sei. Wenn aber, wie das Mittag-Leffler neuerdings getan hat (F. d. M. 35, 448, 1904, JFM 35.0448.02), \(\alpha=\beta +i \gamma\) mit positivem \(\beta\) gesetzt wird, so treten an die Stelle der Halbstrahlen logarithmische Spiralen; im übrigen gilt aber für \(E_\alpha (x)\) eine ganz ähnliche Darstellung.
Für die Angaben über die Nullstellen selbst mußauf die Abhandlung verwiesen werden.

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References:

[1] c. f.G. Mittag-Leffler.Sur la représentation analytique d’une branche uniforme d’une fonction monogène. Cinquième note, § 3. Ce tome pag. 132–147
[2] c. f.G. Mittag-Leffler.Sopra la funzione E a(x) . R. Accad. dei Lincei, Atti. Ser. 5. Vol. 13, 3 Gennaio 1904, pag. 3–5. · JFM 35.0448.02
[3] Die Entwicklung beginnt nämlich stets mit (einem oder mehreren) Gliedern \(\frac{2}{a}e^{r^{\frac{1}{a}} \cos \frac{{2x + 1}}{a}\pi } \cos \left( {r^{\frac{1}{a}} \sin \frac{{2x + I}}{a}\pi } \right),\left( {r^{\frac{1}{a}} = \frac{{k\pi }}{{\sin \frac{\pi }{a}}},x = O,I, \ldots } \right)\) welche dasselbe Zeichen wie () k besitzen, und deren absoluter Betrag grösser als die Summe der absoluten Beträge der restierenden Glieder ist.
[4] Für {\(\alpha\)}=1 verschwinden die Glieder der halbkonvergenten Reihe \(\sum {\frac{{x^{ - v} }}{{\Gamma ( - av + I)}}} \) identisch, und die FunktionE 1 (x) reduziert sich auf das einzige Gliede x . Auf diesen Fall haben demnach die Auseinandersetzungen des Textes keine Anwendung.
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