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Étude d’une fonction entière. (French) JFM 36.0480.02

Nach Mittag-Leffler hat die ganze transzendente Funktion: \[ E_\alpha (x) = \sum_{n=0}^\infty\;\frac{x^n}{ \varGamma{1+\alpha n}} , \] wo \(\alpha\) einen reellen, positiven Parameter bedeutet, die Eigenschaft, daßsie gegen Null konvergiert, wenn \(x= r e^{i \varphi}\) bei konstantem \(\varphi\) und positivem, wachsendem \(r\) auf einem Vektor läuft, für den die Bedingung: \[ +\alpha \,\tfrac \pi 2 < \varphi< - \alpha\, \tfrac \pi 2 \] erfüllt ist. Malmqvist hat eine ganze transzendente Funktion \(G(x)\) gefunden, die für alle Werte von \(\varphi\) mit der einzigen Ausnahme \(\varphi=0\) diese Eigenschaften besitzt; es ist die Funktion \[ \sum_{n=2}^\infty \;\frac{x^{n-2}}{\varGamma \left( 1 + \frac 1{(\log n )^\alpha } \right)} \,. \] Der Beweis beruht auf der Betrachtung des Randintegrals \[ \int_R \frac 1{e^{2 \pi i z } -1} \cdot \frac {x^{z-2}}{\varGamma \left( 1 + \frac 1{( \log z)^\alpha } \right) }\;dz, \] das über ein Rechteck mit den Ecken \[ 2 - \varepsilon - ih, \quad 2- \varepsilon +ih, \quad n+\varepsilon +ih, \quad n+\varepsilon -ih \] erstreckt wird.

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References:

[1] Acta mathematica, t. 29.
[2] loc. cit. Acta mathematica, t. 29.
[3] loc. cit. Acta mathematica, t. 29.
[4] Acta mathematica, t. 29. Théorème I.
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