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Sur la dépendance entre les intégrales de différentielles totales de première et de seconde espèce d’une surface algébrique. (French) JFM 36.0488.08
Das Jahr 1905 hat einen wichtigen Fortschritt in der Theorie der Integrale totaler Differentiale: \[ (1) \quad \int \{ P(x, y, z) dx +Q(x, y, z) dy +R(x, y, z) dz \} \] gebracht, die zu einer algebraischen Fläche \(f(x, y, z)=0\) gehören, und die man, dem Mathematiker zu Ehren, der sie mit so großem Erfolge untersucht hat, Picardsche Integrale nennen sollte. (Siehe auch JFM 36.0488.01, JFM 36.0488.02, JFM 36.0488.03, JFM 36.0488.04, JFM 36.0488.05, JFM 36.0488.06, JFM 36.0488.07)
Picard hatte (F. d. M. 35, 421, 1904, JFM 35.0421.03) die Bestimmung der Anzahl \(r\) der verschiedenen transzendenten Picardschen Integrale zweiter Gattung auf das Problem zurückgeführt, zu ermitteln, durch wie viel verschiedene Polynome eine gewisse lineare Differentialgleichung \(E\) erfüllt wird. In der Note (2) gibt er hierfür einen neuen Beweis, aus dem er weitere Folgerungen zieht, im besonderen den Satz: Ist eine algebraische Fläche regulär, das heißt, ist ihr geometrisches Geschlecht \(p_g\) dem arithmetischen Geschlecht \(p_n\) gleich, so besitzt sie keine transzendenten Integrale zweiter Gattung. Dieser Satz kommt auf den schon früher gefundenen Satz von Severi zurück (F. d. M. 35, 422-423, 1904, JFM 35.0422.03, ausführlicher Beweis in der Note (1)), daß bei einer Fläche, die transzendente Integrale zweiter Gattung besitzt, notwendig \(p_g\) größer als \(p_n\) ist. Aber für solche irregulären Fläche gewinnt jetzt Picard das weiter gehende Ergebnis, daß zwischen der Anzahl \(r\) der Integrale zweiter Gattung und der Anzahl \(p\) der Integrale erster Gattung die Relation besteht: \[ (2) \quad r-p =p_g -p_n. \] Verbindet man hiermit die leicht zu beweisende Ungleichheit: \[ (3) \quad p \leqq \tfrac 12 \,r, \] so ergibt sich die Ungleichheit \[ (4) \quad r \leqq 2 (p_g - p_n). \] Nun ist bei allen besonderen Flächen, die man jetzt betrachtet hatte, die Anzahl \[ (5) \quad r=2 (p_g -p_n), \] und Picard wirft daher am Schlusse der Note (2) die Frage auf, ob nicht vielleicht immer in (4) das Gleichheitszeichen gelte?
Unabhängig von Picard war Severi zu derselben Zeit ebenfalls zu der Relation (2) gelangt, was Enriques in der Note (3) mitteilt; die ausführliche Herleitung hat Severi selbst bald darauf in der Note (4) veröffentlicht. Indem Enriques jenen Satz von Severi mit dem von ihm gefundenen Satze verbindet, daß eine irreguläre Fläche stets Picardsche Integrale erster Gattung besitzt, gelangt er zu dem Theorem: Damit eine algebraische Fläche Picardsche Integrale erster Gattung besitzt, ist es notwendig und hinreichend, daß \(p_g\) größer als \(p_n\) ist, und einer jeden algebraischen Fläche mit Integralen erster Gattung kommen auch Integrale zweiter Gattung zu.
Aber erst Castelnuovo gibt in den Noten (5) und (6) den Beweis dafür, daß Picards Vermutung richtig war. Nach ihm gelten also die überraschend einfachen Gleichungen: \[ \begin{aligned} & (6) \qquad p=p_g -p_n,\\ & (7) \qquad r=2(p_g-p_n).\end{aligned} \] Während Castelnuovo bei seinen Untersuchungen die zu der Fläche gehörigen “Picardschen Mannigfaltigkeiten” heranzieht, die eine transitive Gruppe von \(\infty^d \;(d=p_g-p_n)\) birationalen Transformationen gestatten, beruht der Beweis von Severi in der Note (7) auf dem Theorem: Sind \(J_1, J_2, \dots, J_p\) die \(p\) verschiedenen Picardschen Integrale erster Gattung und \(x_1, x_2, \dots, x_n\) die Schnittpunkte von zwei algebraischen Kurven auf der Fläche, die einer algebraischen Schar angehören, so besteht die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß diese Schar einem linearen System angehört, darin, daß die \(p\) Summen \[ J_h (x_1) +J_h(x_2) +\cdots + J_h(x_n) \] konstant bleiben, wie auch die beiden Kurven aus der Schar ausgewählt sein mögen. Hieraus folgt nämlich, daß \(p\) nicht kleiner als \(p_g-p_n\) sein kann, und alsdann ergeben sich aus (2) und (3) die Gleichungen (6) und (7).
Aus der Note Severis sei noch das folgende Theorem angeführt: Gehören die Punkte \(x_1, x_2, \dots, x_n\) einer Involution \(K\) auf der Fläche an, so besteht die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß \(K\) regulär ist, darin, daß dieselben \(p\) Summen wie vorher konstant bleiben, wenn die Punkte \(x_1, x_2, \dots, x_n\) irgendwie in der Involution gewählt werden.
Die Analogie der beiden Theoreme von Severi mit bekannten Sätzen Abels über algebraische Kurven liegt auf der Hand; ob es aber zweckmäßig ist, sie, wie es Severi tut, als “Abelsche Theoreme über algebraische Flächen” zu bezeichnen, erscheint dem Referenten zweifelhaft.
Einen gewissen Abschluß dieser Untersuchungen bildet die Note (8) von Picard, in der dieser einen Beweis für die Gleichungen (6) und (7) mitteilt, der im Gegensatze zu den geometrischen Methoden der italienischen Mathematiker mit einfachen funktionentheoretischen Hülfsmitteln durchgeführt wird.
Sieht man die Gleichung \(f(x, y, z)=0\) als Gleichung zwischen \(x\) und \(z\) an, so daß sie also eine Kurvenschar mit dem Parameter \(y\) definiert, so seien \(I_1, I_2, \dots, I_q\) die \(q\) verschiedenen Abelschen Integrale erster Gattung. Ihre \(2q\) verschiedenen Perioden \[ \omega_{1, h}, \omega_{2, h}, \dots, \omega_{2q, h} \] sind Funktionen der komplexen Veränderlichen \(y=y' +i y''\). Es sei ferner \[ \omega_{kh} =u_{kh} +i v_{kh}, \] wo die \(u_{kh}\) und \(v_{kh}\) reelle Funktionen der reellen Veränderlichen \(y'\) und \(y''\) bedeuten. Jetzt betrachtet Picard die \(2q\) Gleichungen ersten Grades in \(a_1, a_2, \dots a_q; b_1, b_2, \dots, b_q\): \[ a_1 u_{k1}- b_1 v_{k1} +\cdots + a_q u_{kq} - b_q v_{kq} =C_k \quad (k=1, 2, \dots, 2q), \] während die ganzen Zahlen \(m\) sich auf irgend eine Substitution der Gruppe der schon erwähnten linearen Differentialgleichung \(E\) beziehen, deren Wichtigkeit für die Picardschen Integrale zweiter Gattung damit in ein neues Licht tritt; die Anzahl der Konstanten \(C\), die dabei willkürlich bleiben, ist gleich der Anzahl \(r\) der verschiedenen transzendenten Integrale zweiter Gattung. Es läßt sich nun zeigen, daß die so bestimmten \(a_h\) und \(b_h\) eindeutige Funktionen von \(y'\) und \(y''\), daß die \(a_h +i b_h\) analytische Funktionen von \(y\) sind, und daß der Ausdruck \[ (a_1 +i b_1) dI_1 +\cdots +(a_q +i b_q) d I_q \] als Koeffizient von \(dx\) in einem Picardschen Integral erster Gattung aufgefaßt werden kann. Hieraus folgt aber, daß die Integrale erster Gattung von \(r\) reellen willkürlichen Konstanten abhängen, während die Integrale zweiter Gattung \(r\) komplexe willkürliche Konstanten enthalten. Mithin gilt die Gleichung \(r=2p\), aus der sofort die Gleichungen (6) und (7) folgen.

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