Sur le développement, à l’aide des fonctions cylindriques, des sommes doubles \(\sum f(pm^2 +2qmn +rn^2)\), où \(pm^2+2q mn +rn^2\) est une forme positive à coefficients entiers. (French) JFM 36.0516.02

Voronoï, G.

Verh. 3. Int. Math. Kongr. Heidelb. 1904, 214-245 (1905).

Die über alle ganzzahligen Lösungen der Ungleichung \(a< pm^2+2 qmn +rn^2 \le b\) erstreckte Summe \(S = \sum f(pm^2 +2q mn + rn^2)\) wird, wenn man mit \(\tau (\kappa ) \) die Anzahl der ganzzahligen Lösungen der Gleichung \(pm^2 +2qmn +rn^2= \kappa\) bezeichnet und \[ \varphi(x) =\sum_{\kappa=0}^{\kappa \le x} \tau (\kappa) \] setzt: \[ S= \int_a f(x) \,d \varphi(x). \] Setzt man nun weiter \[ \varphi(x) =\frac{\pi x}{\sqrt {pr-q^2} } + r(x), \] so kann \(r(x)\) mittels einer Formel, welche bei der Transformation der Thetafunktionen Verwendung findet (vgl. mein Lehrb. S. 96), durch Zylinderfunktionen ausgedrückt werden. Benutzt man dann deren Entwicklungen in semikonvergente Reihen, so erhält man Näherungswerte für die Summe \(S\). Daßbei der Herleitung des ebengenannten Ausdruckes von \(r(x)\) durch Zylinderfunktionen die vorgenommene Umstellung der Summationen erlaubt ist, muß, wie auch der Verf. bemerkt, noch besonders bewiesen werden.
For the entire collection see [Zbl 1534.00022].

Reviewer: Krazer, Prof. (Karlsruhe)

MSC:

33Cxx

Hypergeometric functions

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Funktionentheorie. Kapitel 2. Besondere Funktionen. D. Kugelfunktionen und verwandte Funktionen.