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Beweis des Desarguesschen Satzes aus dem Pascalschen. (German) JFM 36.0583.02
Seitdem H. Wiener (Deutsche Math.-Ver. 1, 47; F. d. M. 24, 500, 1892, JFM 24.0500.02), darauf hingewiesen hatte, daß der Desarguessche Satz über zwei perspektive Dreiecke und der Pascalsche Satz für das Geradenpaar genügen, um ohne Stetigkeitsbetrachtungen die projektive Geometrie zu entwickeln, sind die Voraussetzungen für die Gültigkeit dieser Sätze vielfach erörtert worden.
Der Desarguessche Satz läßt sich mit ausschließlicher Benutzung der ebenen und räumlichen Axiome der Anordnung und Verknüpfung beweisen. D. Hilbert hat gezeigt (Grundlagen der Geometrie § 23), daß der Satz nicht mehr beweisbar ist, wenn man von den Axiomen lediglich die räumlichen Verknüpfungsaxiome und das Kongruenzaxiom für Dreiecke fallen läßt, und ferner (§ 22), daß man ihn mit Hülfe einer Streckenrechnung aus dem Pascalschen Satze folgern kann. Die hierzu nötige Streckenrechnung setzt aber die Kongruenzaxiome voraus. Man hielt daher neben den Anordnungs- und Verknüpfungsaxiomen bisher beide Sätze für unentbehrliche Bausteine der projektiven Geometrie.
Die vorliegende Arbeit bringt nun einen wichtigen Fortschritt durch den Nachweis, daß der Desarguessche Satz lediglich unter Voraussetzung der ebenen Verknüpfungsaxiome sich aus dem Pascalschen Satze herleiten läßt. Der Grund dafür ist, daß die Desarguessche Konfiguration durch dreimalige Verwendung einer Pascalschen Konfiguration hergestellt werden kann. Verf. führt den Beweis zunächst für den affinspezialisierten Fall (den Hilbert ausschließlich benutzt) und dann für den allgemeinen Fall, um zu zeigen, wodurch die im ersten Fall notwendigen Hülfslinien begründet sind. Da aus dem affin-spezialisierten Desarguesschen Satz die Existenz sämtlicher ebenen Zentralkollineationen folgt (vgl. Hessenberg, Arch. der Math. u. Phys. (3) 6, 123; F. d. M. 34, 531, 1903, JFM 34.0531.02), so genügt allein der Pascalsche Satz in Hilberts Formulierungzum Beweis aller ebenen Schnittpunktsätze.

MSC:
51-XX Geometry
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References:
[1] Der Beweis steht implizite in Kap. V der ?Grundlagen?. Siehe hierzu auch meine Arbeit ?Desarguesscher Satz und Zentralkollineation? Archiv. d. Math. u. Phys. III. Reihe, Bd. 6.
[2] Gauß, Werke, Bd. VIII S. 162, 189, 194, 200, 224. (Zitiert nach Vahlen, Abstrakte Geometrie, S. 56) Das Tatsächliche darf wohl als allgemein bekannt gelten. Ich bin Anfang der 90er Jahre von Dr. Zermelo auf die Bedeutung des Satzes (Ib) aufmerksam gemacht worden.
[3] Eine Geometrie, in der diese Singularität eintreten kann, ist in meiner Arbeit: ?Über die projektive Geometrie? angegeben. Sitz.-Ber. der Berliner Math. Ges., Jahrg. II.
[4] Es gibt nur eine solche und in dieser gilt nur ein Schnittpunktsatz. Vergl. ?Über die projektive Geometrie?, Sitzungsber, der Berliner Math. Ges., Jahrgang II,
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