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Über diejenigen Cremonaschen Verwandtschaften, bei denen den Ebenen des einen Raumes allgemeine Flächen dritter Ordnung im andern entsprechen. (German) JFM 36.0596.02
Cremona hat in Lomb. Ist. Rend. (2) 4, 269 und 315, 1871 (F. d. M. 3, 429, 1871, JFM 03.0429.01) bekanntlich ein Verfahren angegeben, um aus eindeutigen Verwandtschaften zwischen Ebenen solche zwischen Räumen abzuleiten. In der vorliegenden Notiz wird eine recht anschauliche Modifikation des Cremonaschen Verfahrens an denjenigen eindeutigen Raumverwandtschaften erläutert, bei denen den Ebenen des einen Raumes allgmeine kubische Flächen im andern entsprechen. Ausgegangen wird von einer kubischen Fläche \(\varphi_0\) eines allgemeinen \(F^3\)-Gebüsches und ihren \(\infty^2\) veränderlichen Schnittkurven mit den anderen Flächen dieser Mannigfaltigkeit, wobei unvollständige Schnittkurven durch die Basiskurve des \(F^3\)-Gebüsches vervollständigt werden. Diesen veränderlichen Kurven müssen in der gesuchten Raumverwandtschaft die Strahlen einer Ebene \(\alpha_0'\), hingegen auf einer beliebigen Ebene \(\pi\) abgebildet, die Kurven eines homaloiden Kurvennetzes entsprechen. Zu untersuchen ist, ob ein solches vorhanden ist.
Außer den von Cremona gefundenen sechs Raumverwandtschaften, bei denen den Ebenen des einen Raumes eindeutig die Flächen des \(F^3\)-Gebüsches entsprechen, ergibt sich noch eine siebente derartige Raumverwandtschaft, auf welche schon 1890 Loria in Torino Atti 26, 275 (F. d. M. 22, 825, 1890, JFM 22.0825.01) hingewiesen hat.
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Full Text: EuDML