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Mehrdimensionale Geometrie. II. Teil. Die Polytope. (German) JFM 36.0600.03

Leipzig: G. J. Göschen. IX u. 326 S. \(8^\circ\). (Samml. Schubert XXXVI.) (1905).
Allgemeine Inhaltsübersicht. 1. Topologische Einleitung. Als Polytop im \(R_n\) bezeichnet Verf. allgemein jedes irgendwie begrenzte Stück dieses Raumes. Vorwiegend (nämlich in den ersten drei der vier Abschnitte) werden linear begrenzte Polytope behandelt. Das einfachste unter ihnen, das von \(n+1\) linearen \(R_{n-1}\) begrenzte “Simplex” bildet den Ausgangspunkt der Untersuchung, wobei neben den begrenzten \(R_{n-1}\) auch die unbegrenzten in Betracht gezogen werden. Von der Betrachtung der Schnitte und Projektionen des Simplex gelangt man dann leicht zu den allgemeinen polyedralen Konfigurationen. Es folgen die vorbereitenden Begriffe wie Isomorphismus, allgemeines Polyeder –, welche dann auf den \(R_n\) übertragen werden. Nachdem sodann noch einige spezielle Polytope, Verallgemeinerungen von Pyramiden und Prismen, besprochen sind, wird der Eulersche Satz im \(R_3\) und \(R_n\) ausführlich erörtert und werden die nächstliegenden Konsequenzen aus ihm gezogen.
2. Maßverhältnisse: Kongruenz und Ähnlichkeit. Inhaltsbestimmungen.
3. Regelmäßige Polytope.
4. Die runden Polytope: Kugelräume, Kegel- und Zylinderräume, Allgemeinere Rotationsräume.
Das Buch zeichnet sich durch zweckmäßige Anordnung des Stoffes, welche geeignet ist, das Interesse des unkundigen Lesers für die hier behandelten Probleme zu wecken, durch klare und exakte Darstellung, zahlreiche und sorgfältig ausgeführte Figuren aus. Wenn das vorhandene Material nicht erschöpft ist, so liegt dies hauptsächlich in der Beschränkung, welche sich der Verf. hinsichtlich des Umfanges auferlegen mußte. Indessen ließe sich durch noch kürzere Behandlung namentlich des zweiten Abschnittes Raum für andere Untersuchungen wie die von Minkowski gewinnen, welche man nur ungern vermißt. Denn bei solchen Sätzen der dreidimensionalen Geometrie, deren Verallgemeinerung für den Raum von \(n\) Dimensionen fast unmittelbar zu übersehen ist, wird der Leser nach einiger Anleitung sehr bald die Beweise mühelos finden können, so daßes genügte, sie etwa als Aufgaben anzufügen. Von größtem Interesse sind natürlich solche Tatsachen, die erst in höheren Räumen deutlich hervortreten oder Schwierigkeiten bieten, oder bei denen diese Räume ein wesentlich anderes Verhalten bieten als unser Raum. Darum erscheint mit auch der dritte Abschnitt als der interessanteste, und es ist hier hervorzuheben, daßdie sechs regulären Polytope, durch die sich der \(R_4\) auszeichnet, mit Recht eine sehr ausführliche Behandlung erfahren und, was besonders erfreulich ist, daßdie Schlegelschen Modelle, welche die Projektionen dieser Körper auf den \(R_3\) darstellen, beschrieben und zum Teil auch gezeichnet sind. Bei der Bearbeitung der regulären Polytope höherer Art (Sternpolytope) des \(R_4\) ist dem Verf. leider eine Arbeit entgangen; er gibt nur die beiden von Schläfli gefundenen Polytope an, während es zehn gibt, die sämtlich von Hess (Sitzungsber. d. Ges. z. Beförd. d. Naturwiss. zu Marburg; F. d. M. 17, 520, 1885, JFM 17.0520.01) angegeben worden sind. Bei solchen Problemen, die, wie etwa das Problem der regelmäßigen Raumeinteilungen, eine erschöpfende Behandlung des vorgeschriebenen Umfangs wegen nicht refahren können, und die doch von größtem Interesse sind, wäre eine Angabe der Literatur sehr erwünscht.
Wir glauben mit diesen Bemerkungen einem Wunsche des Verf. zu entsprechen und hoffen, daßein starker Absatz des vorzüglichen Lehrbuches eine zweite Auflage bald notwendig machen wird.

Citations:

JFM 17.0520.01