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Quadrilatères de Steiner dans certaines certaines et surfaces algébriques. (French) JFM 36.0633.02
Nouv. Ann. (4) 5, 455-470, 481-504 (1905).
Verf. zeigt zunächst: der Steinersche Schließungssatz (Steiner, Werke 2, 373) über Polygone, die gewissen ebenen Kurven vierter Ordnung mit zwei Doppelpunkten so einbeschrieben werden können, daß die Seiten abwechselnd durch die Doppelpunkte gehen, ist, wenn man ihn auf Vierecke beschränkt, im Grunde identisch mit dem einfacheren: Wenn eine unikursale ebene Kurve zweiter Ordnung in ein Linienpaar degeneriert, so müssen die beiden Linien des Paares zusammenfallen.
Eine nicht zerfallende, Steinersche Vierecke zulassende ebene Kurve vierter Ordnung mit zwei Doppelpunkten, von denen keiner ein doppelter Inflexionspunkt ist, wird von allen durch einen Doppelpunkt gehenden Geraden in Punktepaaren geschnitten, die von dem anderen Doppelpunkte aus durch eine Strahlen-Involution projiziert werden. – Die Diagonalenschnittpunkte der Vierecke liegen auf dem Polarkegelschnitt eines beliebigen der Doppelpunkte bezüglich einer Kurve dritter Ordnung, welche Polarkurve des andern Doppelpunkts für die Fundamentalkurve ist. Die Diagonalen der Vierecke umhüllen eine Kurve vierter Klasse, welche die Diagonalen desjenigen Vierecks zu Doppeltangenten hat, das von den sich selbst entsprechenden Strahlen der genannten Involutionen gebildet wird.
Damit eine ebene Kurve vierter Ordnung mit drei Doppelpunkten, von denen keiner ein doppelter Inflexionspunkt ist, Steinersche Vierecke zuläßt, deren Gegenseitenpaare sich in zweien der Doppelpunkte schneiden, ist notwendig und hinreichend, daß diese Doppelpunkte durch die Tangenten des dritten Doppelpunkts harmonisch getrennt werden. Der Diagonalenschnittpunkt beschreibt einen Kegelschnitt, und die Diagonalen umhüllen eine Kurve dritter Klasse mit einer Doppeltangente.
Für den Fall, daß die Kurve vierter Ordnung in eine solche dritter Ordnung und in eine Gerade zerfällt, ergeben sich meist bekannte Resultate, während für den Fall des Degenerierens in zwei Kegelschnitte, insbesondere in zwei Kreise, interessante Sätze auftreten.
Für eine beliebige Raumkurve vierter Ordnung erster Art wird der Ort aller Raumpunkte gesucht, von denen aus die Kurve durch Kegel projiziert wird, deren ebene Schnitte Steinersche Vierecke zulassen. Es ergibt sich, daß der Ort der Spitzen dieser Kegel in die sechs Voßschen Flächen zweiter Ordnung desjenigen Büschels zerfällt, welcher die Raumkurve vierter Ordnung zur Grandkurve hat.
Es wird dann eine rationale Raumkurve vierter Ordnung als gegeben angenommen, und es werden solche Raumpunkte \(P\) gesucht, daß sich die beiden Gegenseitenpaare unendlich vieler der Raumkurve einbeschriebenen Vierecke auf je eine von zwei bestimmten durch \(P\) gehenden Bisekanten stützen.
In einem Schlußabschnitt wird die Frage behandelt, was für eine Fläche diejenigen Ebenen einhüllen, die aus einer windschiefen Regelfläche vierter Ordnung mit einer doppelten kubischen Raumkurve solche Kurven ausschneiden, welche Steinersche Vierecke zulassen. Es ergibt sich als Enveloppe gleichfalls eine Fläche vierter Ordnung mit einer doppelten kubischen Raumkurve, im besonderen Falle eine Fläche vierter Ordnung mit einer dreifachen Geraden.
Außer den obigen Resultaten enthält die elegante und reichhaltige Arbeit noch eine Reihe anderer.
Full Text: EuDML