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Recherches sur les surfaces isothermiques. (French) JFM 36.0673.01

Diese Arbeit beschäftigt sich in ausführlicher Untersuchung mit gewissen speziellen, von Bonnet und von Thybaut diskutierten isothermen Flächen. Den Ausgangspunkt bilden die Darbouxschen Sätze über die Enveloppenflächen einer Kugelschar: Wenn die beiden Schalen einer Enveloppe von Kugeln sich mittels ihrer Krümmungslinien aufeinander konform abbilden lassen, so sind sie isotherm. Eine Fläche ist ebenfalls isotherm, wenn ihre harmonischen Kugeln eine zweite Fläche berühren, deren Krümmungslinien denen der ersten entsprechen. (Harmonische Kugel ist eine Berührungskugel der Fläche, deren Mittelpunkt zum Berührungspunkt harmonisch konjugiert in bezug auf die beiden Hauptkrümmungszentren ist.) Der Verf. untersucht zunächst das Problem, alle isothermen Flächen zu finden, deren harmonische Kugeln eine andere isotherme Fläche berühren. Er gelangt zu den Thybautschen Flächen, deren harmonische Kugeln eine (nicht isotrope) Ebene berühren, und ihren inversen. Sind \(R\) und \(R_1\) die Hauptkrümmungsradien und \[ \varOmega=\tfrac12\,\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{R_1}\right),\quad \Gamma=\tfrac12\,\left({1}{R}-\frac{1}{R_1}\right),\quad K=\frac{1}{RR_1}\,, \] so genügen diese Flächen der Relation \[ \varOmega^2-2K+\varDelta_2\log\Gamma=0, \] unter \(\varDelta_2\) den zweiten Differentialparameter verstanden.
Für die weiteren Untersuchungen werden die Bonnetschen Resultate über die Biegung der Flächen benutzt (vgl. das vorige Referat (JFM 36.0672.03)). Die Bedingung der Isothermie läßt sich in die Form setzen: \[ \frac{\partial}{\partial\alpha}\;\left(\frac{p}{\varphi^2}\right)=\frac{\partial}{\partial\beta}\;\left(\frac{q}{\varphi^2}\right). \] Die von Bonnet untersuchten Isothermflächen sind, wie gezeigt wird, identisch mit denjenigen, deren harmonische Evolute (Ort der Mittelpunkte der harmonischen Kugeln) eine isotrope Ebene ist.
Ein bekannter Satz von Christoffel lautet: Wenn zwei Flächen aufeinander durch parallele Normalen konform abgebildet werden können, so sind sie isotherm. Raffy zeigt, daß bei dieser Abbildung jeder Bonnetschen Fläche wieder eine Bonnetsche, jeder Thybautschen wieder eine Thybautsche Fläche entsprechen muß. Von diesen beiden Flächenklassen gilt auch folgender Satz: Es sei \(ds\) ihr Linienelement, so ist sowohl \(\Gamma ds\) wie auch \(\varOmega ds\) das Linienelement einer Kugel.
Endlich wird die Frage nach allen Isothermflächen aufgeworfen, für die \(\Gamma ds\) das Linienelement einer Kugel wird; es ergeben sich: die Minimalflächen und ihre Inversen, die Thybautschen Flächen und ihre Inversen und die Bonnetschen Flächen. Eine Fortsetzung der Untersuchungen steht in Aussicht (inzwischen erschienen).

Citations:

JFM 36.0672.03
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Full Text: DOI Numdam Numdam EuDML