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Sur les surfaces algébriques de genre zéro. (French) JFM 36.0692.01
Bezeichnet man das geometrische Geschlecht einer Fläche mit \(p_g\), das numerische mit \(p_n\), so gelten die Sätze: Eine Fläche von den Geschlechtem \(p_g=0\), \(p_n<-1\) entspricht immer einem Zylinder (dessen ebener Schnitt vom Geschlecht \(-p_n\) ist). Eine Fläche von den Geschlechtern \(p_g=0\), \(p_n=-1\) läßt eine kontinuierliche Gruppe birationaler Transformationen in sich zu, wobei die Gruppe von einem Parameter elliptisch abhängt; die (elliptischen) Trajektorien der Gruppe bilden auf der Fläche einen rationalen Büschel. Die “elliptischen Flächen” haben im allgemeinen nicht das Geschlecht \(p_g=0\), aber es genügt dazu, daß die Trajektorien der entsprechenden Gruppe einen rationalen Büschel bilden. – Ist eine Fläche \(m\)-ter Ordnung \(f(x,y,z)=0\) vom Geschlecht \(p_g=0\) gegeben, so betrachte man diejenigen Flächen \(r(m-4)\)-ter Ordnung \(\varphi_{r(m-4)}\) [wo \(r>1\)], welche sich längs der Doppelkurve von \(f\) so verhalten, als wäre diese für \(\varphi\) eine \(r\)-fache; bezeichnet man die Anzahl der linear unabhängigen \(\varphi_{r(m-4)}\) mit \(P_r\), so hat man den schönen Satz: Eine Fläche \(f(x,y,z)=0\) läßt sich birational in einen Zylinder \(F(X,Y)=0\) transformieren, wenn \(P_4=P_6=0\) ist.
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Full Text: Gallica