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Sulle superficie algebriche di genere geometrico zero. (Italian) JFM 36.0693.02
Um nicht zu weitläufig zu sein, setzen wir voraus, daß der Leser die Begriffe und Benennungen kennt, welche der Verf. und Castelnuovo in die Theorie der algebraischen Flächen eingeführt haben, sowie auch die vornehmlichsten Resultate, welche dadurch erreicht worden sind. Die in der vorliegenden Abhandlung gelöste Aufgabe besteht in der Bestimmung aller Flächen, für welche das geometrische Geschlecht \(p_g=0\), das arithmetische \(p_\alpha<0\) ist. Ist \(p_\alpha<-1\), so kann man die in Rede stehenden Flächen auf Regelflächen abbilden; wenn aber \(p_\alpha=-1\) ist, so besitzen sie eine elliptische Gruppe birationaler Transformationen in sich, deren Trajektorien einen rationalen Büschel elliptischer Kurven bilden. Nun besitzt die Familie der Flächen (“elliptische” Flächen), die eine elliptische Gruppe birationaler Transformationen in sich hat, eine Parameterdarstellung, welche man Painlevé verdankt (Leçons sur la théorie analytique des équations différentielles, Paris 1897, S. 282-286); für alle ist \(p_g=0\); aber diejenigen, welche die Gleichung \(p_\alpha=-1\) befriedigen, bilden, außer den elliptischen Regelflächen, eine Menge, die der Verf. vollständig bestimmt und analytisch darstellt. Berechnet man für solche Flächen die \(r\)-Geschlechter \(P_r\), so wird für die Regelflächen \(P_1 (=p_g)=P_2=\dots=0\) gefunden, während für die anderen elliptischen Flächen \(P_4\geqq 1\), \(P_6\geqq 1\). Infolgedessen sind \(p_\alpha<0\), \(P_4=P_6=0\) die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Darstellbarkeit einer Fläche auf einer Regelfläche (von Geschlecht \(-p_\alpha\)), oder \(P_4=0\), \(P_6=0\) kennzeichnen die Flächen, welche man auf einer Regelfläche abbilden kann. Wegen anderer Resultate und der Ableitungsmethode müssen wir auf die inhaltreiche Originalarbeit verweisen.

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References:
[1] Leçons sur la théorie analytique des équations différentiells, professées à Stockholm en 1895 (Paris, Hermann, 1897), pp. 282–286.
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