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Kriterien für die physikalische Bedeutung der unstetigen Lösungen der hydrodynamischen Bewegungsgleichungen. (German) JFM 36.0796.02

In allen Punkten, wo die Geschwindigkeit oder eine ihrer Ableitungen nach der Zeit unstetig wird, sind entweder die hydrodynamischen Gleichungen selbst oder gewisse, aus denselben durch Differentiation nach der Zeit gewonnene Gleichungen nicht erfüllt. Die Bewegungsgleichungen allein reichen daher zur Beschreibung der Erscheinungen nicht aus. Entweder müssen nach dem Vorgange von Riemann und Christoffel besondere Hypothesen für die Unstetigkeitsstellen postuliert werden, oder solche allgemeine Hypothesen aufgestellt werden, aus welchen für die stetigen Stellen die gewöhnlichen Bewegungsgleichungen folgen, für die unstetigen Stellen andere Bedingungen sich ergeben. Auf den Vorschlag von Hilbert bat Zemplén den zweiten Weg eingeschlagen, der darin besteht, daß auf ein Prinzip der Mechanik zurückgegriffen wird. Es ist zu erwarten, daß für den Fall einer sich fortpflanzenden Unstetigkeitsfläche aus einem geeignet formulierten mechanischen Prinzip für die stetigen Stellen die hydrodynamischen Bewegungsgleichungen und für die Unstetigkeitsstellen als sogenannte dynamische Kompatibilitätsbedingungen sich die Impulsgleichungen ergeben. In der vorliegenden Abhandlung wird nun in der Tat gezeigt, wie aus dem Hamiltonschen Prinzip der stationären Wirkung, ohne andere Annahme als die des Auftretens einer Welle, die Bewegungsgleichungen mit den Kompatibilitätsbedingungen folgen. Der Durchsichtigkeit halber wird nur der Fall der eindimensionalen Bewegung ausführlich behandelt; für den allgemeinen Fall wird das Verfahren skizziert und werden die Resultate mitgeteilt.

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References:

[1] B. Riemann, Über Luftwellen endlicher Amplitude, Gött. Nachr. 1860; Werke p. 151.
[2] E. B. Christoffel, Ann. di Mat. (2), 8 p. 81 und 191.
[3] A. Hugoniot, J. de l’Éc. Polyt. 1885, J. de Math. 1887, und C. R. 1885.
[4] J. Hadamard, Leçons sur la propagation des ondes, Paris 1903, p. 142. · JFM 34.0793.06
[5] Die ausführliche Literatur der Entstehung und Fortpflanzung der Unstetigkeiten in Flüssigkeiten befindet sich in einem nächstens erscheinenden Referat des Verfassers in der Encykl. der math. Wiss. IV, 19. Hier sei nur auf die zitierte Monographie Hadamards besonders hingewiesen, welche auch viele neue Resultate enthält.
[6] Cours de math. physique, Hydrodynamique, Élasticité, Acoustique, Paris 1891, p. 60-98.
[7] Recherches sur l’Hydrodynamique, I. série, Paris, 1903, p. 75. · JFM 34.0795.02
[8] Hilbert, Mathematische Probleme, Archiv für Math. und Phys. (3) 1, Rapports du Congrès International des Mathématiciens, Paris 1900; Encykl. der math. Wiss. II1, 8a.
[9] Hadamard, Leçons p. 81 und ff., 97 und ff. (Conditions identiques et conditions de compatibilité cinématique.)
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