Recherches sur l’élasticité. Troisième partie. (French) JFM 36.0852.04

Duhem, P.

Ann. de l’Éc. Norm. (3) 22, 143-217 (1905).

Das Buch (JFM 36.0852.03) umfaßt die unter dem nämlichen Titel in den Annales de l’École Normale der Jahre 1904/6 veröffentlichte Reihe von Artikeln. Von den vier Teilen, in die es zerfällt, sind die beiden ersten im Vorjahre besprochen worden (F. d. M. 35, 803-804, 1904, JFM 35.0803.06).
Der dritte Teil, “die Stabilität der elastischen Medien”, der 1905 erschienen ist, und dessen Besprechung noch aussteht, ist in drei Kapitel eingeteilt. Das erste Kapitel erörtert die zur anfänglichen Stabilität eines elastischen Mediums hinreichenden Bedingungen. Der anfängliche Zustand ist ein derartiger, bei welchem dieses Medium, das einzig einem äußeren Druck unterworfen und in allen seinen Punkten auf eine und dieselbe Temperatur \(T_0\) gebracht ist, sich im Gleichgewicht befindet. Aus den aufgestellten Gleichungen folgt, daß der Anfangszustand sicher ein Zustand stabilen Gleichgewichtes ist, wenn man die Temperatur unveränderlich und die das Medium begrenzende Oberfläche unbeweglich hält. Die besonderen Bedingungen der Stabilität für ein glasartiges Medium werden in einem eigenen Paragraphen aufgestellt (vgl. F. d. M. 35, 804, 1904, JFM 35.0805.01). Im zweiten Kapitel werden die notwendigen Bedingungen für die Stabilität eines elastischen Mediums ermittelt. Nach verschiedenen Bemerkungen über die kleinen Bewegungen eines elastischen Mediums (§1) wird in §2 eine für die anfängliche Stabilität eines beliebigen kristallisierten oder glasartigen Mediums notwendige Bedingung betrachtet (vgl. F. d. M. 35, 804, 1904, JFM 35.0805.01). Die Aufstellung verschiedener Formeln, die zur Erörterung der anfänglichen Stabilität eines glasartigen Mittels zu benutzen sind, geschieht in §3 (vgl. F. d. M. 35, 804, JFM 35.0804.01); dann folgt in §4 eine andere für die Stabilität eines unbegrenzten glasartigen Mediums notwendige Bedingung. Das Postulat der kleinen Bewegungen, welches schon in der Abhandlung Sur la stabilité et les petits mouvements des corps fluides vom Verf. gebraucht ist (F. d. M. 34, 798, 1903, JFM 34.0798.01), wird im §5 analysiert. Hierbei wird der beachtenswerte Satz ausgesprochen: Aus dem Umstande, daß zwei Systeme partieller Differentialgleichungen nur unendlich wenig voneinander abweichen, darf nicht geschlossen werden, daß ihre den nämlichen Anfangsbedingungen entsprechenden Integrale unendlich wenig verschieden sind. Die beiden letzten Paragraphen des Kapitels dienen dazu, die Modifikationen zu zeigen, welche der Gebrauch des Postulats der kleinen Bewegungen an den vorangehenden Betrachtungen, anzubringen gestattet.
Das dritte Kapitel behandelt die Verrückung des Gleichgewichtes. Man betrachte ein durch eine bestimmte Anzahl normaler Variabeln \(\alpha,\beta,\dots,\lambda\) außer der absoluten Temperatur \(T\) definiertes System. Bei einer gewissen Temperatur \(T\) nehme das System einen Gleichgewichtszustand an, wenn man es den äußeren Aktionen \(A,B,\dots,L\) unterwirft, und dieser Zustand ändere sich stetig, wenn die Werte \(A,B,\dots,L\) bei festgehaltenem \(T\) sich ändern. Erfahren die Aktionen \(A,B,\dots,L\) unendlich kleine Änderungen \(dA,dB,\dots,dL\), “störende Aktionen” benannt, so erfahren die dem Gleichgewichte zugehörigen Variabeln \(\alpha,\beta,\dots,\lambda\) Änderungen \(d\alpha,d\beta,\dots,d\lambda\), “Störungen” genannt. Der Ausdruck \(dAd\alpha+dBd\beta+\cdots+dLd\lambda\) heißt “isothermische Störungsarbeit”. Die Aussage, eine Störungsarbeit sei positiv, bedeutet unter genauer mathematischer Form, die Störung vollziehe sich in derselben Richtung, nach welcher die störenden Aktionen wirken. Offenbar sind die Systeme der Natur im allgemeinen so beschaffen, daß jede isothermische Störungsarbeit, die von einem Gleichgewichtszustand aus vollzogen wird, positiv ist. Dieselben sind nach dem Ausdrucke des Verf. dem Gesetze der isothermischen Verrückung des Gleichgewichts unterworfen. Nach Auseinandersetzung dieser Redeweise (§1) müssen wir uns nun darauf beschränken, die Titel der übrigen Paragraphen herzusetzen. §2. Von der isothermischen Verrückung des Gleichgewichtes für ein elastisches, mit einer homogenen Deformation behaftetes Medium. §3. Von der isothermischen Verrückung des Gleichgewichtes im allgemeinen bei einem elastischen Medium. §4. Auf die Stabilität des Gleichgewichtes bezügliche Folgerung aus der im §2 aufgestellten Bedingung. §5. Von der isentropischen Verrückung des Gleichgewichtes. §6. Anwendungen der vorangehenden Betrachtungen auf ein sehr wenig deformiertes elastisches Medium. §7. Anwendung der vorangehenden Bedingungen auf ein wenig deformiertes glasartiges Medium.
Im vorstehenden wurde wiederholt auf frühere Veröffentlichungen des Verf. verwiesen, wo die behandelten Gegenstände bruchstückweise bekannt gegeben sind. Ähnliche Bemerkungen treffen auch für den vierten Teil des Buches zu: Allgemeine Eigenschaften der Wellen in den viskosen und nichtviskosen Medien. Der Kürze wegen begnügen wir uns mit diesem allgemeinen Hinweise und beschränken uns auf die Wiedergabe des Inhaltes.
Kap. I. Allgemeine Theorie der Fortpflanzung der Wellen im Innern der von Viskosität freien Medien. §1. Einige Hülfssätze aus der Kinematik. §2. Fortpflanzung einer Welle im Innern eines von Viskosität freien Mediums. Komponenten der Elongation, bezogen auf den ursprünglichen Zustand. §3. Störung der Geschwindigkeit. §4. Komponenten der Elongation, bezogen auf das deformierte Medium. §5. Fortpflanzung der Wellen im Innern eines von Viskosität freien und sehr wenig deformierten Mediums. §6. Fortpflanzung der Wellen im Innern eines sehr wenig deformierten glasartigen Mediums.
Kap. II. Theorie der Wellen im Innern der mit Viskosität ausgestatteten Medien. §1. Von den Wellen erster Ordnung in bezug auf die Komponenten der Geschwindigkeit. §2. Von den Wellen zweiter Ordnung in bezug auf die Komponenten der Geschwindigkeit. §3. Schnitt einer Scheidewelle und der freien Oberfläche des Mediums.
Kap. III. Kontinuität des flüssigen und des glasartigen Mediums. Erst in dieser zusammenhängenden Darstellung ist eine Übersicht über die vielen Einzelartikel des Verf. aus den vorangehenden Jahren möglich und werden manche der daselbst gemachten Bemerkungen verständlich. In vielen Punkten mit Hadamards Leçons sur la propagation des ondes zusammentreffend (F. d. M. 34, 793, 1903, JFM 34.0793.06), werden die Duhemschen Untersuchungen die Forschung nach verschiedenen Richtungen beeinflussen.

Reviewer: Lampe, Prof. (Berlin)

JFM Section:

Elfter Abschnitt. Mathematische Physik. Kapitel 1. Molekularphysik, Kapillarität, Elastizität, Akustik. C. Elastizitätstheorie.

Citations:

JFM 36.0852.03; JFM 35.0803.06; JFM 35.0805.01; JFM 35.0804.01; JFM 34.0798.01; JFM 34.0793.06