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Beiträge zur Theorie der Punktmengen. III. (German) JFM 37.0073.03

Seine früheren Untersuchungen (Math. Ann. 58, 195-234 und 59, 129-160; F. d. M. 34, 74, 1903, JFM 34.0074.03 und 35, 88, 1904, JFM 35.0088.02) fortsetzend, erweitert Schoenflies den Jordanschen Satz dahin, daß er beweist, daß das umkehrbar eindeutige und stetige Abbild des Kreises eine “einfache”, geschlossene Kurve ist. Darunter versteht er eine solche geschlossene Kurve (siehe die bezügliche Definition in F. d. M. 35, 88, JFM 35.0088.02), daß jeder Punkt derselben sowohl für das äußere, als für das innere Gebiet “erreichbar” ist, daß nämlich einfache Wege existieren, die von jedem Punkte des äußeren und des inneren Gebietes zu jedem Punkte der Kurve führen. Ferner gibt er eine Zusammenstellung aller Eigenschaften, die bei jeder umkehrbar eindeutigen und stetigen Abbildung von Ebenen aufeinander invariant bleiben.

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References:

[1] Einen Beweis dieses Satzes, und zwar mit Hilfe des Jordanschen Kurvensatzes, gab inzwischen auch Herr F. Riesz, diese Ann. Bd. 59, S. 409.
[2] D. h. einen Streckenzug endlicher Streckenzahl; vgl. Beitrag II, diese Ann. Bd. 59, S 138, a. a. O. S. 131.
[3] Cours d’analyse, 2. Aufl. § 102. ?II est donc établi? usw. S. 98.
[4] Im Beitrag II, diese Ann. Bd. 59, S 138, ist 3/2? durch ? ersetzt; es ist bequemer, die obige Definition von ? zu benutzen.
[5] Beitrag II, diese Ann. Bd. 59, S 138 § 1.
[6] Unter ? (p, q) verstehe ich den Abstand der Punktep undq. Vgl. Beitrag II, § 1.
[7] Vgl. Beitrag I und II, diese Ann. Bd. 58, S. 207 und Bd. 59, S. 132.
[8] Vgl. die Anmerkung auf S. 300.
[9] Beiträge II, S. 138. Dort geschieht die Approximation so, daß ? statt 3/2 ? steht. Diese Abänderung ist belanglos.
[10] Vgl. die Anmerkung **) auf S. 302.
[11] Vgl. § 14. Hilfssatz.
[12] Vgl. meine Note in den Gött. Nachr. 1904.
[13] Vgl. C. Jordan, Cours d’analyse, Bd. 1, S. 46, sowie meinen Bericht, S. 115.
[14] Vgl. Beitrag I, diese Ann. Bd. 58, S. 211.
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