×

zbMATH — the first resource for mathematics

Zur allgemeinen Theorie der algebraischen Größen. (German) JFM 37.0094.02
In der Gleichung \(z^n+c_1z^{n-1}+\dotsm +c_kz^{n-k}+\dotsm +c_n=0\) seien die Koeffizienten rationale ganze Größen eines holoiden Bereiches \([(A),x_1,x_2,\dots ,x_m]\) (vgl. F. d. M. 36, 122, 1905, JFM 36.0122.02), \(P\) eine rationale Primgröße des Bereiches, \(w\) eine Wurzel der Gleichung, die den Gattungsbereich \((\varGamma )\) bestimmt. In bezug auf den Gattungsbereich bestehen die Zerlegungen \[ P={\mathfrak B}_1^{e_1}{\mathfrak B}_2^{e_2}\dots {\mathfrak B}_{r}^{e_{r}},\quad w={\mathfrak B}_1^{a_1}{\mathfrak B}_2^{a_2}\dots {\mathfrak B}_{r}^{a_{r}}{\mathfrak D},\quad (P,{\mathfrak D})=1. \] wo \({\mathfrak B}_i\) ein Primideal, \(e_i\) eine positive, \(a_i\) eine nicht negative ganze Zahl. Dann sind die “charakteristischen Zahlen \(a_i/e_i\) von \(w\) in bezug auf \(P\)” so beschaffen, daß für \(T=a_i/e_i\) die Reihe \[ nT,r_1+(n-1)T, r_2+(n-2)T,\dots ,r_n, \] wo \(r_k\) die Ordnung von \(c_k\) in bezug auf \(P\), mindestens zwei kleinste Zahlen aufweist; sie gehören also zu den Puiseuxschen Zahlen der Gleichung in bezug auf \(P\), die durch Konstruktion des aus der Theorie der algebraischen Funktionen bekannten Puiseuxschen Polygons bestimmt werden können. Auf Grund gewisser Beziehungen zwischen diesen, die in Form von Brüchen geschrieben werden, bei denen alle Zähler und Nenner für sich definiert werden (so daß diese also nicht teilerfremd zu sein brauchen) und den Ordnungszahlen \(r\) wird nun bewiesen, daß allen möglichen Puiseuxschen Zahlen auch charakteristische Zahlen entsprechen, wenn man die sämtlichen Wurzeln \(w\) der Gleichung in Betracht zieht. Endlich wird die Kenntnis der charakteristischen Zahlen auf Irreduktibilitätsuntersuchungen angewandt, wobei der Fall, daß die Zähler und Nenner der Puiseuxschen Zahlen teilerfremd sind, zu einfachen Resultaten Veranlassung gibt; hierbei wird unter anderem auch ein zuerst von Netto bewiesener Satz abgeleitet (Math. Ann. 48, 85; F. d. M. 27, 64, 1896, JFM 27.0064.01).

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: Crelle EuDML