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Una proprietà delle forme algebriche prive di punti multipli. (Italian) JFM 37.0131.01
Es sei (1) \(f(x_0,x_1,\dots ,x_r)=0\), unter \(f\) eine algebraische Form der Ordnung \(l\) in den Variabeln \(x\) verstanden. Die Diskriminante von \(f\) ist die Resultante der Gleichungen (1) \(f=0\), (2) \(\frac {\partial f}{\partial x_i}=0\;(i=0,1,\dots ,r)\); ihr Verschwinden gibt die notwendige und hinreichende Bedingung für gemeinsame Lösungen der \(\frac {\partial f}{\partial x_i}=0\) und damit auch von \(f=0\). Außer der Gleichung \(f=0\) seien noch \(s\) analoge Gleichungen (3) \(\varphi_i(x)=0\) \((i=1,2,\dots ,s)\), \(f=0\) vorgelegt, und es werde vorausgesetzt, daß diese Gleichungen (inkl. \(f=0\)) \(\infty^{r-2}\) gemeinsame Lösungen besitzen. “Im allgemeinen” ist das System nicht ersetzbar durch ein gleichwertiges System von nur zwei Gleichungen. Der Verfasser beweist indessen, für \(r>3\), daß, wenn auch nur eine der Formen \(f,\varphi_i\) eine nicht verschwindende Diskriminante besitzt, das System (3) mit einem solchen von nur zwei Gleichungen äquivalent ist. Hierbei ist unter Äquivalenz zweier Systeme homogener Gleichungen in \(r+1\) Variablen mit \(\infty^{r-2}\) Lösungen zu verstehen, daß zwei derartige Systeme \(\infty^{r-2}\) Lösungen gemein haben; der Fall ist nicht ausgeschlossen, daß das eine System \(\infty^{r-3}\) Lösungen zuläßt, die dem andern nicht angehören.
Deutet man die \(x\) als homogene Punktkoordinaten in einem Raume \(S_r\), so stellt \(f=0\) eine “Fläche” im \(S_r\) dar. Gleichungen mit nicht verschwindender Diskriminante repräsentieren Flächen ohne vielfache Punkte. Das System (2) sei befriedigt durch die Punkte einer algebgraischen \(M^{(r-2)}\) von \(r-2\) Dimensionen, die der Fläche \(f\) angehört. Dann läßt der in Rede stehende Satz die für geometrische Anwendungen besonders brauchbare Fassung zu: “Auf einer algebraischen Fläche \(V\) des \(S_r\), ohne vielfache Punkte, ist jede algebraische \(M^{(r-2)}\) der vollständige Schnitt von \(V\) mit einer andern Fläche.” Von dieser merkwürdigen Eigenschaft algebraischer Formen waren bisher nur zwei spezielle Fälle bekannt: einmal der Fall von \(V_2\) eines \(S_r\) bei F. Klein (F. d. M. 15, 742, 1883, JFM 15.0742.01), sodann der von G. Fano (F. d. M. 35, 656, 1904, JFM 35.0656.01) untersuchte Fall einer \(V_3\) im \(S_4\).
Andererseits läßt sich auch ein Satz von M. Noether (F. d. M. 14, 669, 1882, JFM 14.0669.03) dem Satze des Verfassers als Spezialfall einordnen, wonach die Kurven auf einer allgemeinen Fl\"sche \(n\)-ter Ordnung \(V_n\) (im \(S_3\)) alle vollständige Schnitte sind, oder genauer, daß die Flächen mit Kurven anderer Art (Teilschnitten) eine Untermannigfaltigkeit aller \(V_n\) bilden. Der Gang des Beweises möge an dem Falle \(r=4\) skizziert werden. Auf der Fläche \(V_l\), frei von vielfachen Punkten, im \(S_4\), betrachte man eine Fläche \(F_n\), irreduzibel und gleichfalls ohne vielfache Punkte. Es sei \(a\) der Rang eines “ebenen” Schnittes von \(F_n\), \(j\) die Zahl der von einem Punkte des \(S_4\) an die \(F\) gehenden “ebenen” Tangenten. Nach dem Verfasser (F. d. M. 32, 648, 1901, JFM 32.0648.04; 33, 681, 1902, JFM 33.0681.01) besteht dann einmal die Relation (4) \(n(n-1)=a+j\), andererseits aber auch die folgende: (5) \(nl(l-2)-n^2-al+2(n+a+j)=0\), und damit nach Elimination von \(a+j\) auch: (6) \(nl(l-2)+n^2=al\). Man führe hier den Rest \(\nu\) von \(n\) (mod. \(l\)) ein: \(\nu =ml-n\) \((\nu <l)\). Für das Geschlecht \(p\) der Schnittkurve von \(F\) mit einem \(S_3\) gilt nach Noether die Ungleichung \(p\leq \frac 12 (\nu -1)(\nu -2)+\frac 12 (ml-2\nu )(m+l-4)\). Hieraus folgt eine Ungleichung für den Rang \(a=2n+2p-2\), und diese, verglichen mit (6), liefert die weitere: (7) \(\nu (l-\nu )(l-1)\leq 0\). Hieraus läßt sich aber schließen, daß \(\nu =0\), d. i. aber \(n=ml\), und damit wird \(p=\frac 12 ml(m+l-4)+1\).
Somit ist der ebene Schnitt von \(F\) der vollständige Schnitt des ebenen Schnittes von \(V\) mit einer Fläche der Ordnung \(m\).
Aus diesem Satze läßt sich weiter ableiten, daß \(F\) selbst der vollständige Schnitt von \(V\) mit einer Fläche der Ordnung \(m\) ist, mit Hülfe der namentlich von italienischen Geometern ausgebildeten Geometrie auf einer Fläche oder einer Mannigfaltigkeit. Weiter geht der Verfasser dazu über, seinen Satz auszudehnen auf eine irreduzible Fläche \(V\), die beliebige Singularitäten besitzt. Die Flächen der Ordnung \(n\), die durch \(F\) hindurchgehen, erzeugen auf \(V\) ein lineares System \(|\varPhi |\) ohne Basispunkte. Eine solche erzeugende \(\varPhi\) ist aber auch frei von vielfachen Punkten und irreduzibel. Auf diese Flächen \(\varPhi\) von der Ordnung \(n(l-1)\) lassen sich aber die früheren Schlüsse anwenden; es ist \(n(l-1)\) ein Vielfaches von \(l\), d. i. \(n=ml\).
Damit ist der in Rede stehende Satz im \(S_4\) auch für den Fall von Singularitäten der Fläche \(F\) bewiesen.

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