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Die partiellen Differentialgleichungen des Valentinerproblems. (German) JFM 37.0142.01
H. Valentiner hat (F. d. M. 21, 135, 1889, JFM 21.0135.01) eine wichtige (einfache) Gruppe \(G_{360}\) von ternären Kollineationen entdeckt, deren invariante Formen später von A. Wiman aufgestellt wurden (F. d. M. 27, 103, 1896, JFM 27.0103.03). Es sind dies drei Formen \(f,\varphi ,\psi\) vom Grade 6, 12, 30, und ihre Funktionaldeterminante \(R\); alle andern invarianten Formen der \(x_1,x_2,x_3\) sind ganze Funktionen dieser vier Fundamentalformen, insbesondere \(R^2\) eine ganze Funktion der \(f,\varphi ,\psi\) allein. Bedeutet \(c_1\) eine gewisse numerische, von \(\sqrt 3\) und \(\sqrt {-5}\) abhängige Irrationalität, so wird gesetzt: (1) \(v=c_1\frac {\varphi}{f^2},\; w=6c_1^3\frac {\psi }{f^5}\). Unter dem “Valentinerproblem” ist die Berechnung der \(x_1:x_2:x_3\) aus gegebenen Werten der \(v,w\) zu verstehen. Die drei Größen (2) \(y_i=x_i/\root 6\of f\), als Funktionen der \(v,w\) genügen gewissen partiellen Differentialgleichungen, die L. R. Lachtin (F. d. M. 33, 115, 1902, JFM 33.0115.01) aufgestellt hat, ohne indeß die bezüglichen Zahlenkoeffizienten zu berechnen. Das Hauptziel der vorliegenden Abhandlung besteht in der expliziten Aufstellung dieser Differentialgleichungen mit den Mitteln der Invariantentheorie. Daraufhin lassen sich in der Tat die \(y_i\) in Reihen nach Potenzen der \(v,w\) entwickeln.
Die in Rede stehende Aufgabe steht in engstem Zusammenhange mit F. Kleins Ideen über die Auflösung der Gleichungen sechsten Grades (F. d. M. 30, 103, 1899, JFM 30.0103.03; 36, 133, 1905, JFM 36.0133.03).
Wie die Auflösung der Gleichungen fünften Grades auf das “Ikosaederproblem” zurückkommt, so die der Gleichungen sechsten Grades auf das Valentinerproblem. Nach Klein reichen zu dem Behuf niedere akzessorische Irrationalitäten aus, nämlich Quadrat- und Kubikwurzeln.
Nach Wiman (a. a. O.) spielen bei der \(G_{360}\) zwei Systeme von sechs Kegelschnitten, die vermöge der Gruppe je 360 Vertauschungen erleiden, eine wesentliche Rolle.
Zwei Kegelschnitte, d. i. zwei quadratische ternäre Formen \(A\) und \(B\), heißen “kunjugiert”, wenn die Determinante von \(\lambda A+\mu B\) gleich \(\lambda^3+\mu^3\) ist. Das einzelne der beiden Systeme von sechs Kegelschnitten ergibt sich in allgemeinster Weise als ein System von sechs Kegelschnitten \(K_1,K_2,\dots ,K_6\), die paarweise konjugiert sind; für sich ist ein solches System schon früher von Gerbaldi (F. d. M. 14, 537, 1882, JFM 14.0537.02) untersucht und weiterhin für die Resolventen des Valentinerproblems verwendet worden (F. d. M. 29, 120, 1898, JFM 29.0120.02; 30, 147, 1899, JFM 30.0147.01; 31, 145, 1900, JFM 31.0145.03; 33, 161, 1902, JFM 33.0161.01). Die \(K_i\) werden in expliziter Gestalt aufgestellt und sind vorderhand erst bis auf eine dritte Einheitswurzel als Faktor bestimmt.
Da übrdies die \(K_i\) bei der Substitution \(x_i'=-x_i\) ungeändert bleiben, so definiere man lieber umgekehrt die (homogene) “Valentinergruppe” \(G_{6\cdot 360}\) von 6 . 360 Substitutionen durch die 360 geraden Vertauschungen der Formen \(K_i^3\). Die ganzen Invarianten \(\varPhi\) dieser Gruppe sind dann drei Formen \(f_6,\varphi_{12},\psi_{30}\), wo \(f\equiv a_x^6\equiv\sum K_i^3\).
Es wird nun das “Formensystem” der Urform \(f\) im allgemeinen Sinne der Invariantentheorie untersucht, unter Heranziehung der Kovarianten und Zwischenformen. Hierbei werden von vornherein besondere Eigenschaften der \(f_6\) benutzt, und es genügt die Kenntnis von Teilsystemen zweierlei Art: 1. des von den ternären kubischen Formen “übernommenen” Teiles des Systems, 2. der Formen, die durch “Faltung” aus dem symbolischen Produkte \(\varphi =(aa_1a_2)^2a_x^4a_{1,x}^4a_{2,x}^4\) entstehen, und ihrer Überschiebungen.
Setzt man \(4s=-\sqrt 3-\sqrt {-5},\; (3)\; \xi_i=30sf^{-1}K_i^3\), so läßt sich mit diesen Mitteln die “\(\xi\)-Resolvente” sechsten Grades \(\varPi (x-\xi_i)=0\) explizit hinschreiben, sowie ein System von drei partiellen Differentialgleichungen für die \(y(2)\).
In den ersten drei Kapiteln werden die erforderlichen Eigenschaften der Invarianten erörtert: der \(\varOmega\)-Prozeß, die Polaren und Überschiebungen von Potenzen von Formen, sodann die wichtigsten Formeln im System der kubischen ternären Formen und ihre Übernahme in die ternären Formen sechsten Grades.
Einige Einzelheiten seien hervorgehoben. Der \(\varOmega\)-Prozeß ist durch \[ \varOmega\varphi\equiv\frac {\partial^2\varphi}{\partial x_1\partial u_1}+ \frac {\partial^2\varphi}{\partial x_2\partial u_2} +\frac {\partial^2\varphi}{\partial x_3\partial u_3} \] definiert. Wendet man ihn auf \(u_x^n\) und \(\varphi u_x^p=a_x^mu_x^nu_x^p\) an, so ergeben sich die drei grundlegenden Identitäten \[ \begin{split} (4)\quad\varOmega u_x^n=n(n+2)u_x^{n-1},\quad\varOmega\varphi u_x^p=u_x^p\varOmega\varphi +p(m+n+p+2)\varphi u_x^{p-1}, \\ \varOmega a_x^mu_x^p=p(m+p+2)a_x^mu_x^{p-1}. \end{split} \] Hieraus läßt sich eine Reihe weiterer Formen gewinnen, bei denen die Voraussetzung \(\varOmega\varphi =0\) wesentlich ist.
Seien ferner \(f,\varphi\) zwei quadratische Formen, so lassen sich die Überschiebungen \((f^2,\varphi^2,u_x^4)^4\), \((f^3,\varphi^3,u_x^6)\), \((f^2,f^2,u_x^2)^2\) aus den Überschiebungen von \(f\) und \(\varphi\) selbst zusammensetzen.
Von den Invarianten, Kovarianten, Zwischenformen und zwischen ihnen bestehenden Relationen wird eine ansehnliche, für das Weitere erforderliche Reihe entwickelt; einige darunter sind neu.
Daraufhin lassen sich die Kovarianten von \(f\) aufstellen, die von den kubischen Formen herüberzunehmen sind.
Nunmehr konzentriert sich der Verf. auf die konjugierten Kegelschnitte. Es werden ihre Normalformen in Punkt- und Linienkoordinaten aufgestellt, die oben angeführten Operationen darauf angewendet, und schließlich die Werte der \(K\) und von \(f=\sum K^3\) für spezielle Punkte berechnet.
Zu einem gegebenen Kegelschnitte \(a_x^2\equiv K_1\) gibt es eine dreifache Mannigfaltigkeit von Kegelschnitten \(b_x^2\), die ihm konjugiert sind. Bezieht man \(a_x^2\) und \(b_x^2\) auf ihr gemeinsames Polardreieck, wodurch ihre Gleichungen sehr einfach werden, so lassen sich durch eine Reihe von Prozessen aus der Mannigfaltigkeit der Kegelschnitte \(b_x^2\) fünf bestimmte Individuen \(K_2,\dots ,K_6\) ausscheiden, die zueinander konjugiert sind. Daraufhin lassen sich die Invarianten der sechs Kegelschnitte \(K\) berechnen.
Nunmehr werden die zugehörigen Kollineationen untersucht. es gibt eine Gruppe von Kollineationen \(\sum\), eben die Valentinergruppe, die die \(K^3\) teils nicht ändern, teils ineinander überführen. Unter diesen \(\sum\) gibt es wieder eine Untergruppe von \(T\), die \(K_1^3\) nicht ändern. Die Gruppe der \(\sum\) läßt die oben charakterisierten Formen \(\varPhi\) unverändert, die Untergruppe der \(T\) gewisse Formen \(P\), wo die \(\varPhi\) spezielle \(P\) sind. Die Gruppe der \(T\) ist eine ternäre Ikosaedergruppe von 6.60 Substitutionen; die dieser Gruppe gegenüber invarianten Formen \(P\) lassen sich als ganze Funktionen von \(K_1^3\) und den \(\varPhi\) darstellen. Die \(\varPhi\) enthalten nur gerade Potenzen der \(x\), sie hängen rational von \(x_1^2,x_2^2,x_3^2\) ab, ihr Grad ist durch 3 teilbar. Die Grade der \(P\) sind durch 6 teilbar; unter ihnen sind diejenigen \(Q\) bemerkenswert, deren Grad \(<30\) ist, nämlich von den Graden 0, 6, 12, 18, 24.
Die einfachsten \(\varPhi\) sind \(f\) und \(U=\varPi K\); die einfachsten \(P\) sind \(f,U,K_1^3\). Nimmt man noch eine gewisse ausgezeichnete Fundamentalform \(p_5\) hinzu, so sind alle \(P\) ganze Funktionen von \(K_1^3,f,U,p_5\), alle \(Q\) ganze Funktionen von \(K_1^3, f, U\), und endlich alle \(\varPhi\) ganze Funktionen von \(f,U,p_5\). Hierbei läßt sich \(p_5\) charakterisieren als der Koeffizient von \(x\) in der Gleichung sechsten Grades \(F(x)\equiv\varPi (x-K_i^3)=x^6+p_1x^5+\dotsm +p_5x+p_6=0\). Daraufhin läßt sich beweisen, daß sich die \(\varPhi\) auch als ganze Funktionen der oben definierten Formen \(f,\varphi ,\psi\) darstellen lassen und die \(P\) als ganze Funktionen von \(f,\varphi ,\psi ,K_1^3\), wodurch der Zusammenhang mit den \(v,w\) hergestellt ist. Die konjugierten Kegelschnitte \(K\) erweisen sich als linear unabhängig, so daß jeder Kegelschnitt \(G\) der Ebene als ganze lineare homogene Kombination der \(K\) erscheint. Es wird die Determinante von \(G\) aufgestellt, und aus ihr lassen sich die Werte der Überschiebungen \((f,f)^2\), \((f,f)^4,(f,f)^6\) als Funktionen der \(K\) berechnen.
Die Form \(f=\sum K^3\) ist eine spezielle Form sechsten Grades; sie läßt sich durch gewisse Beziehungen zwischen ihren Kovarianten charakterisieren.
Die absoluten Kovarianten von \(f\) sind von der Gestalt \(\frac {\varPhi}{f^n}\); sie sind ganze Funktionen der Valentinerparameter.
Das Hauptinteresse konzentriert sich auf die beiden letzten Kapitel; hier werden die Gleichung (resolvente) sechsten Grades mit den Wurzeln \(K^3\) und die partiellen Differentialgleichungen mit den Partikularlösungen \(x_i/\root 6 \of f\) explizite aufgestellt und ihre Beziehung zum Problem der Auflösung einer beliebigen Gleichung sechsten Grades ins Licht gesetzt. Ref. spricht die Hoffnung aus, daß es dem Verf. gelingen möge, seine mit außerordentlichem Scharfsinn und nicht geringerer Ausdauer durchgeführten Rechnungen auf ein übersichtlicheres Maß zu reduzieren.

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References:
[1] Vergl. meinen Vortrag ?Über die Gleichungen 6. Grades? in den ?Verhandlungen des 3. Internationalen Mathematiker-Kongresses zu Heidelberg? (pg. 140?143).
[2] De endelige Transformations-Gruppers Theori (1889) in den Abhandlungen der Dänischen Akademie, Serie 5, Bd. 6.
[3] Über eine einfache Gruppe von 360 ebenen Kollineationen (1895), diese Annalen, Bd. 47.
[4] Die Differentialresolvente einer algebraischen Gleichung sechsten Grades allgemeiner Art (1902), diese Annalen, Bd. 56, cf. insbesondere pag. 459; vorher russisch im 22ten Bande der Moskauer Mathematischen Sammlung, 1901.
[5] Sulla risoluzione delle equazioni di sesto grado (estratto di una lettera al sig. Castelnuovo) (Sitzung vom 9. April 1899), Rendiconti, vol. VIII, 10 semestre.
[6] Über die Auflösung der Gleichungen sechsten Grades (März 1905), Journal für reine und angewandte Mathematik, Bd. 129. · JFM 36.0134.01
[7] Sui gruppi di sei coniche in involuzione, Atti di Torino, vol. 17, p. 358?371.
[8] Sul gruppo semplice di 360 collineazioni piane, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, bis jetzt 4 Teile: Teil 1, Bd. XII (1898); Teil 2, Bd. XIII (1899); Teil 3, Bd. XIV (1900); Teil 4, Bd. XVI (1902).
[9] Vergl. hierzu die in der Einleitung zitierten Arbeiten von Herrn Gerbaldi.
[10] Vergl. die in der Einleitung zitierte Arbeit von Herrn Wiman.
[11] Diese Resolvente ist bereits von Hrn. Gerbaldi in seiner dritten Mitteilung an den Circolo Matematico di Palermo angegeben (1900, Rendiconti Bd. XIV).
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