×

zbMATH — the first resource for mathematics

Über die Äquivalenz der Gruppen linearer Substitutionen. (German) JFM 37.0162.01
Ein von Burnside (Lond. M. S. Proc. (2) 3, 430-434; F. d. M. 36, 199, 1905, JFM 36.0199.01) aufgestellter Satz wird in folgender Verallgemeinerung bewiesen: I. Es seien \(\mathfrak{ U, B, C},\dots\) \(r\) irreduzible Gruppen linearer Substitutionen, die einer gegebenen Gruppe \(\mathfrak G\) holomorph sind, und es mögen dem Element \(R\) von \(\mathfrak G\) in den Gruppen \(\mathfrak{ U, B, C},\dots\) die Substitutionen \(A=(a_{\alpha\beta})\), \(B=(b_{\gamma\delta})\), \(C=(c_{\varepsilon\eta})\),…entsprechen. Sind dann nicht zwei der Gruppen \(\mathfrak{ U, B, C},\dots\) äquivalent, so kann es keine lineare homogene Relation \[ \sum_{\alpha}k_{\beta\alpha}a_{\alpha\beta}+\sum_{\gamma ,\delta} l_{\delta\gamma}b_{\gamma\delta}+\sum_{\varepsilon\eta}m_{\eta\varepsilon} c_{\varepsilon\eta}+\dotsm =0 \] mit konstanten Koeffizienten \(k_{\beta\alpha},l_{\delta\gamma},m_{\eta\varepsilon},\dots\) geben, die durch die Koeffizienten \(a_{\alpha\beta},b_{\gamma\delta},c_{\varepsilon\eta},\dots\) von je \(r\) zusammengehörigen Substitutionen \(A,B,C,\dots\) befriedigt wird. Aus diesem Satze ergibt sich weiter: II. Zwei isomorphe irreduzible Gruppen \(\mathfrak U\) und \(\mathfrak B\) sind stets und nur dann äquivalent, wenn je zwei einander entsprechende Substitutionen \(A\) und \(B\) dieselbe Spur besitzen. III. Zwei isomorphe Gruppen von linearen Substitutionen in \(m\) und \(n\) Variabeln enthalten stets nur dann dieselben irreduziblen Bestandteile, wenn je zwei einander entsprechende Substitutionen dieselbe Spur besitzen. IV. Zwei vollständig reduzible Gruppen von linearen Substitutionen in \(n\) Variabeln sind stets und nur dann äquivalent, wenn je zwei einander entsprechende Substitutionen dieselbe Spur besitzen.

PDF BibTeX XML Cite