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Sur les congruences du second degré et les nombres de Bernoulli. (French) JFM 37.0228.02

Ist \(x^2\equiv q\) (mod. \(p\)) und \(\left(\frac qp\right) =1\), so findet man die Wurzel \(x\), falls \(p=4n+3\) ist, durch \[ x\equiv \pm q^{\frac {p+1}4}\quad (\text{mod. }p). \] Ist dagegen \(p=4n+1\), so existiert bisher keine solche Lösung. Die Verf. geben eine in allen Fällen gültige Lösung: \[ x\equiv\pm 2\sum_{m=0}^{\frac {p-3}2}q^{\frac {p-1}2-m}\sum_{y=1}^{\frac {p-1}2}y^{2m+1}\quad (\text{mod. }p). \] Dieselbe ergibt sich aus der einfachen Tatsache, daß \[ y(1-(y^2-q)^{p-1})\equiv 0\;(\text{mod. }p),\text{ falls }y^2\text{ nicht }\equiv q\;\text{mod. }p), \]
\[ y(1-(y^2-q)^{p-1})\equiv y\; (\text{mod. }p),\;\text{falls}\; y^2\equiv q\; (\text{mod. }p). \] Die innere Summe kann noch durch Bernoullische Zahlen berechnet werden; die obige Kongruenz liefert dann verschiedene Kongruenzeigenschaften der Bernoullischen Zahlen nach dem Modul \(p\).

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