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Sur quelques points de la théorie des nombres. (French) JFM 37.0237.01
Siehe Jahrgang 1905 (F. d. M. 36, 279, JFM 36.0279.03). Die vorliegende Arbeit ist die Ausführung der dort besprochenen Notizen der C. R. Es handelt sich um die Analogie zwischen dem Lindemannschen Theorem der Unmöglichkeit von \[ A_1e^{\alpha_1}+A_2e^{\alpha_2}+\dotsm +A_ne^{\alpha_n}=0 \] (\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n;A_1,A_2,\dots ,A_n\) algebraische Zahlen) und dem Borelschen Theorem der Unmöglichkeit von \[ P_1(z)e^{H_1(z)}+P_2(z)e^{eH_2(z)}+\dotsm +P_n(z)e^{H_n(z)}=0 \] (\(P_1(z),P_2(z),\dots ,P_n(z),H_1(z),\dots ,H_n(z)\) rationale Funktionen von \(z\)).
Es sei \[ q(u)=u^{\nu}+\gamma_1u^{\nu-1}+\dotsm +\gamma_{\nu-1}u+\gamma_{\nu}, \] wo nicht alle \(\gamma\) algebraische Zahlen sind. Der Verf. beweist zunächst, daß es nicht \(\nu\) algebraische Werte \(u\) geben kann, für die \(q(u)\) algebraisch wird. Hieraus ergibt sich, daß die \((\nu+1)\) Gleichungen: \[ q(u)=A_1e^{\alpha_1},\,\dots ,\,\,\,q(u)=A_{\nu+1}e^{\alpha_{\nu}+1} \] niemals sämtlich algebraische Wurzeln haben, falls \(\alpha_1\neq 0\) \((i=1,2,\dots ,\nu+1)\), ein Resultat, das der Verf. noch bedeutend erweitert.
Der Verf. spricht zum Schluß die Hoffnung aus, daß ein Theorem gefunden und bewiesen werde, das genauer als das Borelsche das Analogon zum Lindemannschen Satz bilde.
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Full Text: DOI Numdam EuDML