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Introduction à la théorie des nombres transcendants et des propriétés arithmétiques des fonctions. (French) JFM 37.0237.02
Paris: Gauthier-Villars. v, 272 S. (1906).
Das Buch soll eine für jeden Studenten faßliche Einleitung in die Arbeiten über transzendente Zahlen geben.
Kapitel I. Der Verf. gibt die Theorie der Kettenbrüche wieder und teilt letztere je nach ihrer Konvergenz in Ordnungen ein. Zur Bestimmung der Konvergenz dient die Funktion \(e^{e^{{.}^{{.}^{{.}^{e^x}}}}}\).
Kapitel II. Liouvillesches Kriterium für transzendente Zahlen.
Der Verf. nennt Zahlen “Liouvillesche transzendente Zahlen”, wenn sie diesem Kriterium genügen. Erweiterung des Kriteriums auf den Fall, wo die Näherungsbrüche Zahlen eines algebraischen Körpers sind.
Kapitel III.
Aus einer Liouvilleschen tranzendenten Zahl leitet der Verf. unendlich viele neue Liouvillesche transzendente Zahlen ab, die die Menge der korrespondierenden transzendenten Zahlen bilden. Der wesentliche Gedanke bei ihrer Bildung ist, daß man in den Näherungsbrüchen der Liouvilleschen transzendenten Zahl an Stelle der Nenner eine bestimmte positive Potenz derselben setzt. Diese Zahlen reproduzieren sich durch Addition, Substraktion, Multiplikation, Division, oder sie ergeben rationale Zahlen. Mit Hülfe dieser Entwicklung erhält der Verf. eine für die Liouvilleschen transzendenten Zahlen charakteristische Eigenschaft: Sei \(p\) eine ganze rationale Zahl, so erhält die \(p\)-te Potenz einer Liouvilleschen transzendenten Zahl unendliche viele Näherungsbrüche, die genau die \(p\)-te Potenz von Näherungsbrüchen der Liouvilleschen transzendenten Zahl selbst sind.
Kapitel IV.
Jede reelle Zahl kann auf verschiedene Weise als Wurzel einer Funktion \(f(x)\) aufgefaßt werden, wo \(f(x)\) eine Reihe nach positiven oder negativen Potenzen von \(x\) oder ein Kettenbruch mit rationalen Koeffizienten ist. Die Nenner des Kettenbruches sind dabei ganze rationale Funktionen einer ganzen oder gebrochenen Potenz von \(x\).
Kapitel V.
\(f(x)\) ist eine erzeugende Funktion transzendenter Zahlen, wennn jedem rationalen oder algebraischen Wert von \(x\) ein transzendenter Zahlwert \(f(x)\) entspricht. Mit Hülfe der Liouvilleschen transzendenten Zahlen stellt der Verf. solche Funktionen her.
Kapitel VI.
Der Verf. stellt Kategorien von Zahlen auf, deren Näherungsbrüche ähnlichen Bedingungen unterliegen, wie die Näherungsbrüche der Liouvilleschen transzendenten Zahlen. Er beweist, daß \(e\) keine Liouvillesche transzendente Zahl sein kann.
Kapitel VII.
Bedingungen dafür, daß Dezimalbrüche oder Kettenbrüche in gewissen Fällen transzendente Zahlen sind.
Kapitel VIII.
Weitere Sätze über die Herstellung erzeugender Funktionen transzendenter Zahlen. Existenz von Zahlen, deren unendlicher Dezimalbruch (rechts vom Komma) folgende Eigenschaft hat: Die Anzahl aufeinanderfolgender Nullen wächst nur langsam, wenn man vom Komma nach rechts ins Unendliche geht.
Kapitel IX.
Beweis der Transzendenz von \(e\) und \(\pi\) nach Hilbert.
Kapitel X.
Ausdehnung der bisherigen Entwicklungen auf den Fall von Reihen nach Polynomen von \(x\). Die Koeffizienten dieser Polynome sind rational, oder sie sind rational aus den korrespondierenden Liouvilleschen transzendenten Zahlen gebildet.
Kapitel XI.
Jede transzendente Zahl, die Grenzwert einer Menge von ganzen algebraischen Zahlen ist, heiße ganze transzendente Zahl. So ist zum Beispiel jede durch eine ganze Funktion mit rationalen Koeffizienten dargestellte transzendente Zahl eine ganze transzendente Zahl (z. B. \(\pi\)).
Kapitel XII.
Dichtigkeit der Wurzeln der ganzen Funktionen von der Ordnung Null.
In drei Nachträgen bringt der Verf. weitere Bemerkungen über den Zusammenhang von ganzen Funktionen und transzendenten Zahlen. Den Schluß bildet eine ausführliche Literaturangabe.

MSC:
11-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to number theory
11J81 Transcendence (general theory)
11J70 Continued fractions and generalizations
30D20 Entire functions of one complex variable (general theory)
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