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Remarques sur quelques séries de polynomes. (French) JFM 37.0280.01
Die Gleichung \(|x^2-1|=1\) stellt, wenn \(x\) einen Punkt der komplexen Ebene bedeutet, eine Bernoullische Lemniskate dar mit den Polen \(x=-1\) und \(x=+1\). Der Doppelpunkt \(x=0\) teilt die Lemniskate in die beiden Teile \(A\) und \(B\), welche die Punkte +1 und -1 umgeben.
Die im Innern von \(A\) reguläre analytische Funktion \(f(x)\) geht durch die Substitution \(z=1-x^2\), \(x=\sqrt {1-z}=1-\frac 12z+\dotsm \) in eine in der Umgebung von \(z=0\) reguläre Funktion von \(z\) über, deren Taylorsche Entwicklung \(c_0+c_1z+c_2z^2+\dotsm \) sei, sie konvergiert für \(|z|<1\); daher konvergiert die Reihe \(c_0+c_1(1-x^2)+c_2(1-x^2)^2+\dotsm \) im Innern von \(A\) und stellt dort \(f(x)\) dar; sie konvergiert auch im Innern von \(B\), stellt aber dort im allgemeinen nicht \(f(x)\) dar, sondern nur, wenn \(f(x)\) analytisch fortsetzbar ist und die Bedingung \(f(x)=f(-x)\) erfüllt.
Im Anschluß hieran wird eine Reihe von Polynomen gebildet, die verschiedene Funktionen in verschiedenen Punkten der Ebene darstellt: 1. Die Reihe \(f(x)=1/x=1:\sqrt{1-z}=1+\sum_{\nu -1}^{\infty} \frac {2\nu !}{(\nu !)^2} \frac {z^{\nu}}{2^{2\nu}}\) konvergiert im Innern der ganzen Lemniskate, hat im Innern von \(A\) den Wert \(1/x\), dagegen im Innern von \(B\) den Wert \(-1/x\). Das zweite Beispiel ist der Zweig von \(\text{log}\,x\), der für \(x=1\) verschwindet und durch einen Schnitt vom Nullpunkt längs der negativen imaginären Achse eindeutig gemacht ist; dann folgt aus \(\text{log}\,x=\text{log}\,\sqrt{1-z}=-\frac 12(z+\frac {z^2}2+\frac {z^3}3+\dotsm \)), daß die Reihe \(1-x^2+\frac {(1-x^2)^2}2+\frac {(1-x^2)^3}3+\dotsm \) in beiden Teilen der Lemniskate konvergiert und \(-2\,\text{log}\,x\) im Innern von \(A\), dagegen \(-2\,\text{log}\,x+2\pi i\) im Innern von \(B\) darstellt.
Schließlich wird eine Reihe gebildet, die in einer beliebig kleinen Umgebung eines beliebigen Punktes im Innern des Kreises \(|x|=1\) nach und nach eine unendliche Zahl von verschiedenen analytischen Funktionen, nämlich \(\text{log}\,x+\varphi i\) (wo \(\varphi\) in rationalem Verhältnis zu \(2\pi\) steht) darstellt.

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Full Text: DOI Numdam EuDML