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Aur une formule générale d’interpolation. (French) JFM 37.0287.02
Es seien \(p\) und \(q\) zwei ganze Zahlen und \(p\leq q,\varphi_{pq}(x)\) gleich 0 für \(0\leq x\leq (p-1)/q\) und \((p+1)/q\leq x\leq 1\), gleich \(qx-p+1\) für \((p-1)/q\leq x\leq p/q\). gleich \(-qx+p+1\) für \(p/q\leq x\leq (p+1)/q\). Im Intervall \((0\dots 1)\) sei für das Polynom \(P_{pq}(x)|\varphi_{pq}(x)-P_{pq}(x)|<1/q^2\), \(f(x)\) in diesem Intervall eine stetige Funktion, \(M\) ihre obere Grenze, \(\varepsilon_q\) eine Zahl so, daß für \(|x_1-x_2|<1/q\), \(|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon_q\) ist, dann ist nach Borel \[ \left| f(x)-\sum_{p=0}^qf\left(\frac pq\right) P_{pq}(x)\right| <\varepsilon_q+M\frac {q+1}{q^2}. \] Bedeutet \(\varPi_k(x)\) ein Polynom, von der Art, daß zwischen 0 und \(1\) \(|\varPi_k(x)-|x-k/q||<1/2q^3\) ist, so ist \[ P_{0q}=-\frac {q-1}2\varPi_0+\frac q2\varPi_1+\frac 12\varPi_q,\quad P_{qq}=\frac 12\varPi_0+\frac q2\varPi_{q-1}-\frac {q-1}2\varPi_q, \] \[ P_{pq}=\frac q2(\varPi_{p-1}+\varPi_{p+1})-q\varPi_p\quad (p=1,2,\dots ,q-1). \] Setzt man \(|x-k/q|=\sqrt{1+z}=u_0+u_1z+u_2z^2+\dotsm +u_nz^n+R_n\), wo \(u_0=1\), \(u_1=\frac 12\), \(u_h=1.3\dots (2h-3)/2.4\dots 2h\) \((h\geq 2)\) ist, so ist \(R_n=u_{n+1}+u_{n+2}+\dotsm =(2n-1)u_n=1.3\dots (2n-1)/2.4\dots 2n\), und man kann für \(\varPi_k(x)\) den Ausdruck \(1+\sum_{h=1}^{2q^6}(-1)^{h+1}u_h\left[\left( x-\frac kq\right)^2-1\right]^h\) nehmen.
Ist für \(\mu >0\) \(C_{\mu k}\) der Koeffizient von \(x^{\mu}\) in \(\varPi_k(x)\), so ist, wenn \(\alpha_{\mu},\beta_{\mu}\) die ganzzahligen positiven Lösungen von \(2\alpha +\beta =\mu\), \(\alpha+\beta\leq h\) bedeuten, \[ C_{0k}=1+\sum_{h=1}^{2q^6}(-1)^{h+1}+u_h\left(\frac {k^2}{q^2}-1\right)^h,\quad C_{\mu k}=\sum_{\alpha_{\mu},\beta_{\mu}}\frac {\left(\frac {-2k}q\right)^{\beta_{\mu}}}{\alpha_{\mu}!\,\,\beta_{\mu}!}-\frac {d^{\alpha_{\mu}+\beta_{\mu}}C_{0k}}{d^{\alpha_{\mu}+\beta_{\mu}}\left(\frac {k^2}{q^2}-1\right)} . \] Der Koeffizient von \(x^{\mu}\) in \(\varPi_0(x)\) ist für ein ungerades und für ein gerades von 0 verschiedenes \(\mu\) \[ C_{\mu 0}=\frac 1{\left(\frac {\mu}2\right)!}\sum_{h=\frac {\mu}2}^{2q^6} (-1)^{h+1}u_h\frac {h!}{\left( h-\frac {\mu}2\right)!}(-1)^{h-\frac {\mu}2}, \] ferner ist \[ C_{00}=1-\sum_{h=1}^{2q^6}u_h,\quad C_{\mu q}=\sum_{h=l_{\mu}}^{\mu}(-1)^{h-1}u_hh!\frac {(-2)^{2h-\mu}}{(\mu -h)!\,\,(2h-\mu )!}, \] wo \(l_{\mu}=\frac {\mu}2+\frac 14 [1-(-1)^{\mu}]\) ist, und \(C_{0q}=1\).
Bezeichnet \(D_{\mu pq}\) den Koeffizienten von \(x^{\mu}\) in \(P_{pq}(x)\), so ist \(P_{pq}(x)=\sum D_{\mu pq}x^{\mu}\) \((\mu =0,\dots ,4q^6),\) \[ D_{\mu 0q}=-\frac {q-1}2C_{\mu 0}+\frac q2 C_{\mu 1}+\frac 12C_{\mu q},\quad D_{\mu qq}=\frac 12C_{\mu 0}+\frac q2C_{\mu q-1}-\frac {q-1}2C_{\mu q}, \] \[ D_{\mu pq}=\frac q2 (C_{\mu p-1}+C_{\mu p+1})-qC_{\mu p}\,\,\,(p=1,2,\dots ,q-1). \]
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