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Über vollständig reduzible lineare homogene Differentialgleichungen. (German) JFM 37.0332.02
Verf. führt in dem vorliegenden Aufsatze einen neuen Begriff ein, nämlich den der vollständig reduziblen linearen homogenen Differentialgleichung, d. i. des kleinsten Vielfachen einer Anzahl irreduzibler linearer homogener Differentialgleichungen. Dieser Begriff ist insofern für die Theorie der linearen homogenen Differentialgleichungen von Bedeutung, als zu jeder linearen homogenen Differentialgleichung eine eindeutig bestimmte, größte vollständig reduzible lineare homogene Differentialgleichung gehört, und diese letztere über alle irreduziblen linearen homogenen Differentialgleichungen, deren Integrale der vorgelegten Differentialgleichung genügen, Auskunft erteilt. So ergibt sich ein Teil der in einem früheren Aufsatze “Über reduzible lineare homogene Differentialgleichungen” (Math. Ann. 56, 549-584; F. d. M. 34, 357, 1903, JFM 34.0357.01) vom Verf. gewonnenen Resultate ohne Benutzung der Picard-Vessiotschen Theorie der Rationalitätsgruppe und für einen Rationalitätsbereich, der nicht alle Konstanten zu enthalten braucht. Von den neuen Resultaten seien folgende hervorgehoben: Jede vollständig reduzible lineare homogene Differentialgleichung ist entweder nur auf eine einzige Art oder auf unendlich viele Arten kleinstes gemeinsames Vielfaches irreduzibler linearer homogener Differentialgleichungen; notwendig und hinreichend für den letzteren Fall ist, daß wenigstens zwei der Gleichungen, deren kleinstes gemeinsames Vielfaches die vorgelegte Gleichung ist, gegenseitig von derselben Art sind. Ferner: Notwendig und hinreichend, damit eine lineare homogene Differentialgleichung durch die Integrale von unendlich vielen verschiedenen irreduziblen linearen homogenen Differentialgleichungen erfüllt wird, ist, daß die zu der vorgelegten Differentialgleichung zugehörige größte vollständig reduzible lineare homogene Differentialgleichung auf unendlich viele Arten kleinstens gemeinsames Vielfaches irreduzibler linearer homogener Differentialgleichungen ist.

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References:
[1] Math. Annalen, Bd. 56, S. 549.
[2] Appell, Sur les équations différentielles linéaires. Annales de l’École Normale (2), 10 (1881). Beweise des Satzes findet man u. a. in Picards Traité d’Analyse, t. 3 (1896), 509 und in Ludwig Schlesingers Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen, Bd. 1 (1895), 41.
[3] Für die angeführten Sätze kann man neben der fundamentalen Abhandlung von Frobenius, Über den Begriff der Irreduzibilität in der Theorie der linearen Differentialgleichungen, Journ. f. d. r. u. ang. Math., Bd. 76 (1873), 236 etwa die Darstellung in Ludw. Schlesingers Handbuch, Bd. 1, S. 43-46 und S. 81-85 vergleichen.
[4] Brassinne, Note 3 in Ch. Sturms Cours d’Analyse, t.2. L. Heffter, Über gemeinsame Vielfache linearer Differentialausdrücke und lineare Differentialgleichungen derselben Klasse, Journ. f. d. r. u. ang. Math. Bd. 116, S. 157. E. Beke, Symmetrische Funktionen bei linearen Differentialgleichungen, Math. Ann. Bd. 45, S. 297.
[5] Die Bezeichnung stammt fürn=m von Herrn Poincaré, Mémoire sur les fonctions zétafuchsiennes, Acta mathematica Bd. 5 (1884), S. 212.
[6] L. Fuchs, Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen Sitzungsberichte der Berliner Akademie, Jahrg. 1888, S. 1274 ff. Vgl. auch die Darstellung in Ludw. Schlesingers Handbuch, Bd. 21, S. 120.
[7] Math. Annalen, Bd. 59.
[8] G. Frobenius, Journal f. d. r. u. ang. Math., Bd. 76, S. 268.
[9] Vgl. die Note von Herrn E. Landau in Archiv der Math. u. Phys., 3. Reihe, Bd. 10, S. 45-50.
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