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Funktionaloperationen und -gleichungen. (German) JFM 37.0346.08
Enzyklop. d. Math. Wissensch. \(II_1\), 761-817 (1906).
Der Artikel, als II A 11 bezeichnet, wird durch die folgende Definition der “Funktionalrechnung” eingeleitet: “In der allgemeinen Theorie der Operationen hat man drei Arten von Elementen zu unterscheiden: die Objekte, an denen man operiert, die Operationen, die man an diesen Objekten ausführt – man stellt sie durch Zeichen dar, die man Operationssymbole oder einfach Symbole nennt –, endlich die Resultate, die man durch Ausführungen der Operationen erhält. Sind die Objekte und die Resultate Funktionen von einer oder mehreren Veränderlichen, so heißen die Operationen Funktionaloperationen; der so entstehende Zweig der Analysis wird gewöhnlich als Rechnen mit Symbolen bezeichnet, würde aber besser Funktionalrechnung heißen.”
Inhaltsverzeichnis. I. Funktionaloperationen. 1. Definition der Funktionalrechnung. 2. Die Funktionalrechnung von Leibniz bis Lagrange. 3. Untersuchungen über das Rechnen mit Symbolen bis auf Servois. 4. Prinzip des Rechnens mit Symbolen. 5. Elemente des Operationskalküls. 6. Einfache distributive Operationen. 7. Ableitungen (Differentialquotienten) zu beliebigem Index. 8. Die Generalisationsrechnung von Oltramare. 9. Anwendungen des Rechnens mit Symbolen. 10. Anwendungen auf Differentialgleichungen. 11. Anwendungen auf Formen- und Zahlentheorie. 12. Vektorielle Interpretation in einem Raume von \(n\) Dimensionen. 13. Interpretation in einem Raume unendlich vieler Dimensionen. 14. Darstellung einer distributiven Operation durch eine Reihe. 15. Darstellung durch ein bestimmtes Integral. 16. Die Transformation von Laplace. 17. Andere distributive Operationen. 18. Nicht distributive Operationen. 19. Funktionen von Linien.
II. Funktionalgleichungen. 20. Allgemeines über Funktionalgleichungen. 21. Die Gleichungen von Babbage und ihre Anwendungen. 22. Die Gleichungen von Abel und Schroeder. 23. Iterationsrechnung. 24. Anwendung der Iterationsrechnung auf die Auflösung der Abelschen Gleichung. 25. Andere Anwendungen der Koenigsschen Funktionen. 26. Analytische Iteration. 27. Verschiedene Funktionalgleichungen; Verallgemeinerung der Periodizität; transzendente Transzendenz. 28. Integralgleichungen erster Art (Umkehrung bestimmter Integrale); Allgemeines. 29. Umkehrung bestimmter Integrale mit festen Grenzen. 30. Umkehrung bestimmter Integrale mit veränderlichen Grenzen. 31. Integralgleichungen zweiter Art. 32. Symbolische Gleichungen.