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Remarques sur quelques théorèmes d’existence. (French) JFM 37.0372.01
Bei dem Cauchyschen Beweise für die Existenz einer Lösung der partiellen Differentialgleichung \[ (1)\quad p=f(x,y,z,q), \] die sich für \(x=x_0\) auf eine gegebene Funktion \(\varphi (y)\) reduziert, ist man bestrebt, zu zeigen, daß es eine Reihenentwicklung gibt, die formal der Gleichung (1) genügt und konvergiert, wenn die Moduln von \(x-x_0\) und \(y-y_0\) unterhalb gewisser Grenzen \[ |x-x_0|\leq r,\quad |y-y_0|\leq r' \] bleiben. Nun kann es aber eintreten, daß die gegebene Funktion \(\varphi (y)\) auch außerhalb des Kreises um \(y_0\) mit dem Radius \(r'\) konvergiert. Goursat will in der vorliegenden Arbeit zeigen, daß dann die Existenz der Integralfunktion in einem weiter ausdehnten Bereiche gesichert ist.
Nach einigen vorbereitenden Sätzen beweist er das folgende Theorem: Setzt man in der Differentialgleichung (1) \(z=\varphi (y)+u\), so ergibt sich für \(u\) eine Differentialgleichung, für die die Bedingung zu erfüllen ist, daß \(u=0\) ist für \(x=x_0\) und beliebige \(y\). Man kann also von vornherein annehmen, daß \(\varphi (y)=0\) ist. Es werde nunmehr vorausgesetzt, daß \(f(x,y,z,q)\) eine holomorphe Funktion ihrer vier Variablen ist, wenn die Moduln von \(x-x_0\), \(z\), \(q\) bzw. nicht die positiven Werte \(a,b,c\) überschreiten und \(y\) sich in einem Bereiche \(D_y\) bewegt, der von einer oder mehreren Kurven begrenzt ist. In diesem Falle wird gezeigt, daß es eine der Differentialgleichung (1) formal genügende Reihe \[ (5)\quad z=\varphi_1(y)(x-x_0)+\varphi_2(y)(x-x_0)^2+\dotsm +\varphi_n(y)(x-x_0)^n+\dotsm \] gibt (die Funktionen \(\varphi_1(y),\varphi_2(y),\dots\) werden nach und nach mit Hülfe der in \(f\) auftretenden Koeffizienten entwickelt), und es zeigt sich, daß die Konvergenz dieser Reihe nach dem folgenden Theorem gesichert ist: Sei \(D_y'\) ein Bereich, der ganz im Innern von \(D_y\) liegt und von einer oder mehreren Kurven derart begrenzt ist, daß diese Kurven keinen Punkt mit der Begrenzung von \(D_y\) gemein haben. Dann läßt sich diesem Bereiche \(D_y'\) eine positive Größe \(R\) so zuordnen, daß die Reihe (5) konvergent ist, wenn sich \(y\) in \(D_y'\) bewegt und \(|x-x_0|<R\) ist, und daß \(z\) eine holomorphe Funktion der beiden Variablen \(x\) und \(y\) in den angegebenen Bereichen darstellt.
Im zweiten Teile der Arbeit werden Anwendungen dieses Theorems, besonders auch auf gewöhnliche Differentialgleichungen, nach verschiedenen Richtungen hin gemacht.
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Full Text: DOI Numdam EuDML