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Sur les intégrales infiniment voisines des équations aux dérivées partielles. (French) JFM 37.0374.02

Die Bezeichnung “équation auxiliaire” für gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen ist von Darboux eingeführt und auf verschiedene Probleme der Infinitesimalgeometrie angewendet worden: Poincaré hat (Les méthodes nouvelles de la Mécanique céleste. T. I, chap. II) diesen Begriff wieder aufgenommen und seine Wichtigkeit gezeigt für das Studium der Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen, die gewissen als bekannt vorausgesetzten Integralen unendlich benachbart sind. Der Verf. stellt sich hier die Aufgabe, die Theoreme Poincarés auf partielle Differentialgleichungen auszudehnen. Dabei ergibt sich ein wesentlicher Unterschied zwischen den beiden Problemen. Im Falle der gewöhnlicher Differentialgleichungen ist das Hülfssystem ein System von linearen Differentialgleichungen mit einer unabhängigen Variable, und man kennt a priori die für die Integrale möglichen Singularitäten. Dies ist schon für eine lineare partielle Differentialgleichung im allgemeinen nicht mehr der Fall. Verf. muß daher annehmen, daß das bekannte partikulare Integral auf seine Charakteristikenlinien bezogen ist. Zum Nachweise der Konvergenz der Entwicklungen muß er sich neuer Kunstgriffe bedienen. Die Gleichungen erster Ordnung sind mittels zweier Methoden behandelt, von denen die erste eine Anwendung der Charakteristikentheorie ist; die zweite Methode, die von dieser Theorie unabhängig ist, läßt sich auf Differentialgleichungen zweiter Ordnung ausdehnen. Die Arbeit beginnt mit einigen Theoremen zur Theorie der impliziten Funktionen.

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