Sur les caractéristiques des systèmes aux dérivées partielles. (French) JFM 37.0374.04

Hadamard, J.

S. M. F. Bull. 34, 48-52 (1906).

Bei dem bekannten Beweise des Fundamentaltheorems von Cauchy und von Sonja Kowalewski muß bekanntlich angenommen werden, daß das System von Differentialgleichungen in bezug auf die Ableitungen höchster Ordnung nach derselben unabhängigen Variable auflösbar sei. Aber man weiß heute, daß diese Möglichkeit durchaus nicht etwa im allgemeinen Falle vorliegt. In der vorliegenden Arbeit weist der Verf. zunächst darauf hin, daß schon in einem der bekanntesten Beispiele, nämlich dem der Deformation von Flächen: \[ \left(\frac {\partial x}{\partial u}\right)^2+\left(\frac {\partial y}{\partial u}\right)^2+\left(\frac {\partial z}{\partial u}\right)^2=E(u,v), \]
\[ \frac {\partial x}{\partial u}\frac {\partial x}{\partial v}+\frac {\partial y}{\partial u}\frac {\partial y}{\partial v}+\frac {\partial z}{\partial u}\frac {\partial z}{\partial v} =F(u,v), \]
\[ \left(\frac {\partial x}{\partial v}\right)^2+\left(\frac {\partial y}{\partial v}\right)^2+\left(\frac {\partial z}{\partial v}\right)^2=G(u,v) \] die Auflösung, z. B. nach \(\frac {\partial x}{\partial u},\frac {\partial y}{\partial u},\frac {\partial z}{\partial u}\), nicht möglich ist, und daß eine solche Auflösung auch bei keiner Veränderung der unabhängigen Variablen möglich wird. Nachdem die Auffindung der Existenzbedingungen der Integrale von partiellen Differentialgleichungen für den allgemeinen Fall durch Méray und Riquier einerseits, Delassus andererseits gelehrt worden ist, hat den ersten Schritt zu einer allgemeinen Charakteristikentheorie Beudon (Ann. de l’Éc. Norm. (3) 13, Suppl. 3-51; F. d. M. 27, 274, 1896, JFM 27.0274.01) getan, indem er die Systeme von mehreren Gleichungen mit einer unbekannten Funktion untersuchte. Hadamart bleibt hier bei dem von ihm schon früher in seinen “Leçons sur la propagation des ondes” behandelten Falle, wo die Zahl der Gleichungen der der unbekannten Funktionen gleich ist, und zwar nimmt er drei Gleichungen zweiter Ordnung mit drei unbekannten Funktionen. Es zeigt sich, daß die Bedingung von Sonja Kowalewski nicht erfüllt oder erfüllt ist, je nachdem eine gewisse Determinantengleichung eine Identität ist oder nicht.

Reviewer: Fuchs, Dr. (Halensee)

JFM Section:

Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 6. Partielle Differentialgleichungen.

Citations:

JFM 27.0274.01