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Sur la solution du problème généralisé de Dirichlet relatif à une équation linéaire du type elliptique au moyen de l’équation de Fredholm. (French) JFM 37.0376.01

Die Verallgemeinerung des Dirichletschen Problems auf die linearen Gleichungen vom elliptischen Typus \[ (1)\quad \frac {\partial^2u}{\partial x^2}+\frac {\partial^2u}{\partial y^2}+a\frac {\partial u}{\partial x}+b\frac {\partial u}{\partial y}+cu=f, \] wo \(a,b,c,f\) Funktionen von \(x\) und \(y\) sind, haben neuerdings Hilbert und seine Schüler mit der Fredholmschen Funktionalgleichung in Beziehung gesetzt. Picard will in der vorliegenden Arbeit zeigen, daß für die Behandlung der Frage keine andere als die klassische Greensche Funktion für das gegebene Gebiet eingeführt zu werden braucht. Er stellt die Aufgabe, ein Integral von (1) zu finden, das, ebenso wie seine partiellen Ableitungen bis zur zweiten Ordnung, in einem gegebenen Gebiete stetig ist, und das auf der Begrenzung \(C\) dieses Gebietes verschwindet. Um nebebsächliche Schwierigkeiten zu vermeiden, nimmt er an, daß \(C\) analytisch und regulär ist. Unter der Voraussetzung, daß die Lösung existiert, folgt aus (1) \[ \begin{split} (\alpha )\quad u(x,y)-\frac 1{2\pi }\iint\left[ a(\xi ,\eta )\frac {\partial u}{\partial\xi }+b(\xi ,\eta )\frac {\partial u}{\partial \eta}+c(\xi ,\eta )u\right] \\ \cdot G(\xi ,\eta ;x,y)d\xi d\eta =\psi (x,y), \end{split} \]
\[ \text{wo}\quad\psi (x,y)=-\frac 1{2\pi}\iint f(\xi ,\eta )G(\xi ,\eta ;x,y)d\xi d\eta \] ist und \(G(\xi ,\eta ;x,y)\) die Greensche Funktion für das von \(C\) begrenzte Gebiet ist. Die Gleichung \((\alpha )\) ist noch keine Fredholmsche; mittels der teilweisen Integration geht aber Picard von ihr zu einer Fredholmchen Gleichung \[ (\beta )\quad u(x,y)+\frac 1{2\pi}\iint\left[\frac {\partial (aG)}{\partial\xi}+\frac {\partial (bG)}{\partial\eta}-cG\right] u(\xi ,\eta)d\xi d\eta =\psi (x,y) \] über. Wenn nicht ein singulärer Fall vorliegt, kann die einzige (\(\beta\)) entsprechende Lösung gefunden werden. Es ist aber noch zu zeigen, daß man von (\(\beta\)) zu (\(\alpha\)) und dann zu (1) zurückkehren kann. Zu dem Ende muß nachgewiesen werden, daß die aus (\(\beta\)) genommene Lösung \(u(x,y)\) partielle Ableitungen erster Ordnung besitzt, die auf \(C\) endlich bleiben, und daß für das Innere von \(C\) auch noch die Ableitungen zweiter Ordnung vorhanden sind. Der Nachweis gelingt, wenn die Koeffizienten von (1) Ableitungen bis zur zweiten Ordnung besitzen, mit Hülfe einer andern Funktionalgleichung, die Picard aus (\(\beta\)) entwickelt. Es folgt die Erörterung der singulären Fälle und schließlich die Behandlung eines Spezialfalles, nämlich der vielfach behandelten Gleichung \[ \frac {\partial^2u}{\partial x^2}+\frac {\partial^2u}{\partial y^2}+kcu=f, \] wo \(c(x,y)\) in dem betrachteten Gebiete positiv ist.

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Full Text: DOI Numdam EuDML