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Sur les zéros d’une classe de fonctions transcendantes. (French) JFM 37.0419.01
Zu den vorliegenden Untersuchungen, deren Hauptergebnisse bereits früher bekannt gemacht sind (F. d. M. 34, 450, 1903, JFM 34.0450.01; 35, 415, 1904, JFM 35.0415.03), war Remoundos durch eine Bemerkung von Painlevé angeregt worden; dieser hatte nämlich in seinen Vorlesungen über Abelsche Funktionen an der Pariser École Normale, 1902/03, die Vermutung ausgesprochen, daß sich der bekannte Satz von Picard (F. d. M. 11, 267, 1879, JFM 11.0267.02) in der Weise auf endlich vieldeutige analytische Funktionen ausdehnenlasse, daß eine analytische Funktion, die in der Umgebung eines isolierten wesentlich singulären Punktes \(n\) Zweige besitzt, in dieser Umgebung alle Werte annimmt, ausgenommen höhstens \(2n\). Daß der allgemeine Picardsche Satz sich auf solche Art von den eindeutigen auf die \(n\)-deutigen analytischen Funktionen übertragen läßt, ist wahrscheinlich zutreffend, allein bewiesen hat es Remoundos nicht, wenn er es auch, infolge eines sogleich aufzuklärenden Mißverständnisses, geglaubt und ausdrücklich ausgesprochen hat.
Remoundos beginnt mit dem Fall, der dem speziellen Picardschen Satze entspricht, bei dem die Funktion nur eine wesentlich singuläre Stelle besitzt, die man ins Unendliche verlegen darf. Während man dort bei der Frage nach den Ausnahmewerten darauf geführt wird, zu untersuchen, ob eine dreigliedrige Identität der Form \[ G_1(z)e^{H_1(z)}+G_2(z)e^{H_2(z)}+G_3(z)e^{H_3(z)}=0 \] bestehen kann, in der die Funktionen \(G_1,G_2,G_3;H_1,H_2,H_3\) ganze transzendente Funktionen von \(z\) sind, wird man hier zu mehrgliedrigen Relationen dieser Art geführt und kann jetzt den Umstand benutzen, daß Borel bei seinem Beweise des speziellen Picardschen Satzes (”F. d. M. 27, 321, 1896, siehe JFM 27.0321.01 u. JFM 27.0321.02”) bereits gezeigt hatte, daß unter gewissen Voraussetzungen über das Wachstum der Funktionen \(G\) und \(H\) eine solche Relation nur bestehen kann, wenn die \(G\) sämtlich verschwinden.
Gegen diese Übertragung des Borelschen Beweises auf \(n\)-deutige Funktionen mit einer wesentlichen singulären Stelle ist nichts einzuwenden. Allein Remoundos irrt, wenn er glaubt, daß man daraus durch ein von Maillet (F. d. M. 34, 451, 1903, JFM 34.0451.01) angegebenes Verfahren zu dem Beweise des Satzes für die Umgebung einer beliebigen isolierten wesentlich singulären Stelle gelangen könne. Das Verfahren von Maillet führt nämlich nicht zu einem “unmittelbaren Beweise des allgemeinen Picardschen Satzes”, daMaillet genötigt ist, besondere Voraussetzungen über das Verhalten der Funktion in der Nähe des singulären Punktes zu machen (Lehrsätze III und IV, S. 37 und 39); einen elementaren Beweis für den allgemeinen Picardschen Satz hat erst Schottky (”F. d. M. 35, 401,1904, JFM 35.0401.01, JFM 35.0401.02 u. JFM 35.0401.03”) erbracht. Es wäre zu wünschen, daß untersucht würde, obes möglich ist, den Schottkyschen Beweis auf \(n\)-deutige Funktionen zu übertragen.
In dem zweiten Teil seiner Thèse beschäftigt sich Remoundos mit unendlichvieldeutigen analytischen Funktionen und macht zunächst die Voraussetzung, daß eine solche Funktion \(u\) durch eine Gleichung der Form: \[ s_1(u)A_1(z)+s_2(u)A_2(z)+\dotsm +s_n(u)A_n(z)=0 \] definiert wird, in der die Funktionen \(s(u)\) ganze transzendente Funktionen von \(u\) und die Funktionen \(A(z)\) ganze transzendente Funktionen von \(z\) bezeichnen. Eine solche Funktion \(u\) nimmt in der Umgebung des wesentlich singulären Punktes \(z=\infty\) alle Werte an mit Ausnahme einer abzählbaren Wertemenge, die den Wert \(\infty\) zum einzigen Häufungspunkt hat, wenn es einen solchen gibt; bei ausgedehnten Klassen von unendlichvieldeutigen Funktionen der betrachteten Art ist nämlich nur eine endliche Anzahl von Ausnahmewerten vorhanden. Es folgen Verallgemeinerungen, bei denen man auf die Frage stößt, ob sich das Theorem von Borel auf unendlichvielgliedrige Summen von Produkten \(Ge^H\) ausdehnen läßt, eine Frage, deren vollständige Beantwortung dem Verf. noch nicht gelungen ist, die er jedoch für wichtige besondere Fälle erledigen konnte.
Der dritte Teil der Abhandlung enthält Untersuchungen über ganze transzendente Funktionen von regulärem Wachstum im Sinne von Borel. Remoundos spricht hier die Vermutung aus, daß das Produkt von zwei Funktionen regulären Wachstums und derselben Ordnung \(r\), falls es eine Funktion mindestens der Ordnung \(r\) ist, auch reguläres Wachstum besitze, und erörtert die Schwierigkeiten, die sich dem Beweise entgegenstellen.

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Full Text: DOI Numdam EuDML