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Propriétés d’une fonction holomorphe dans un cercle où elle ne prend pas les valeurs zéro et un. (French) JFM 37.0421.01

Wenn \(f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dotsm \) für \(|x|\leq r\) regulär ist und daselbst die Werte 0 und 1 nicht annimmt, so ist das Maximum ihres absoluten Betrages auf einem Kreise um den Nullpunkt von kleinerem Radius als \(r\) unterhalb einer nur von \(a_0\), d. h. dem Werte der Funktion im Nullpunkt, abhängigen Konstante gelegen. Dieser Satz des Verf. enthält den bekannten Picardschen Satz und dessen von Landau gegebene Erweiterung und ist selbst enthalten in einer Arbeit von Schottky, welche dem Verf. bei Abfassung der vorliegenden Arbeit noch nicht bekannt war. Die Stellung dieses Satzes in der an Picards Theorem anschließenden Literatur findet man genau charakterisiert in der oben S. 418 besprochenen Arbeit von E. Landau, “Über den Picardschen Satz”, insbesondere \(\S\S\) 5 und 14; dort findet man die Einwendungen, denen der Beweis des Verf. für den genannten Satz und der Inhalt eines weiteren Satzes der vorliegenden Arbeit unterliegt, welcher Funktionen betrifft, die in einem Kreise die Werte 0, 1 zusammen \(p\)-mal annehmen, anstatt sie ganz auszulassen.
Reviewer: T.
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Full Text: DOI Numdam EuDML