Sur certaines transcendantes entières. (French) JFM 37.0430.03

Pétrovitch, M.

S. M. F. Bull. 34, 165-177 (1906).

Unter einer Transzendente \(\varDelta (z)\) versteht der Verf. eine solche ganze transzendente Funktion \(a_0+a_1z+a_2z^2+\dotsm \), deren Koeffizienten sich in die Form \[ a_n=\frac 1{n!}\int_a^b u(t)[r(t)]^ndt \] setzen lassen, unter \(a,b,u,r\) reelle Größen verstanden, \(u(t)\) und \(r(t)\) außerdem von konstantem Vorzeichen für \(a\leq t\leq b\). Er zeigt, daß die Transzendenten \(\varDelta\) stets das Geschlecht 0 oder 1 haben, daß Ableitung und Integral einer solchen Transzendente \(\varDelta\) wiederum solche sind, und daß allgemeiner eine inhomogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, deren rechte Seite eine Transzendente \(\varDelta\) ist, durch eine ebensolche integriert wird.
Er wendet sich dann zu der speziellen Transzendente \(\varDelta\): \[ \varDelta =\sum_{n=0}^{\infty} \frac {z^n}{(n+1)^{n+1}}, \] die für die Theorie der folgenden andern Klassen von ganzen transzendenten Funktionen wesentlich ist: eine Funktion \(\varOmega\) nennt er eine ganze transzendente Funktion, deren Koeffizienten sämtlich positiv sind, und deren Potenzentwicklung, nur bis zur \(n\)-ten Potenz summiert, ein Polynom \(n\)-ten Grades mit nur reellen (und als negativen) Nullstellen besitzt, für jedes \(n=1,2,\dots\) Er bespricht, unter Erinnerung an Laguerre, die Existenz solcher Funktionen \(\varOmega\) und zeigt, daß ihre Koeffizienten nie diejenigen einer Funktion der Form \(A_0+A_1z\,\varDelta\left(\frac {A_1z}{A_0}\right)\) übersteigen, wo \(\varDelta\) die obige zuletzt genannte spezielle Transzendente \(\varDelta\) ist. Danach ist auch jede Transzendente \(\varOmega\) vom Geschlecht 0 oder 1. Zuletzt verschärft er diese Tatsache noch durch die genauere Abschätzung, daß dieses \(\varDelta\) nicht schneller wächst als \(\text{constans}.e^{\frac zl}/\sqrt z\); endlich benutzt er seinen Satz (S. M. F. Bull. 29, 303-312, 1901), um abzuleiten, daß bei jeder Funktion \(\varOmega\) der Betrag der absolut kleinsten Wurzel die Größe \(0,696.a_0/a_1\) übertrifft.

Reviewer: T.

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Funktionentheorie. Kapitel 1. Allgemeines.