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Zur Theorie allgemeiner Zetafunktionen. II. (German) JFM 37.0433.02
Über den Inhalt seiner Abhandlung äußert sich Herglotz selbst folgendermaßen: “Zeichnet man in das ebene Gitter aller ganzen Zahlen \((a,b)\) eine geschlossene, den Nullpunkt \(O(0,0)\) umgebende Kurve \(C\) ein, die durch jeden von \(O\) nach einem Gitterpunkte \(P\) hinlaufenden Halbstrahl nur in einem Punkte \(Q\) geschnitten wird, und bildet die für \({\mathfrak R}(s)>1\) konvergente, über alle Gitterpunkte, \((0,0)\) ausgenommen, zu erstreckende Summe \[ (1)\quad M(s)=\sum_{a,b}\left(\frac rR\right)^{2s}\quad (R=OP,\,\,r=OQ), \] so ist, wie Minkowski in seiner Gedächtnisrede auf Dirichlet bemerkt, in den beiden von Dirichlet zur Ermittelung von \[ \lim_{s=1}(s-1).\sum_{a,b}(Aa^2+2Bab+Cb^2)^{-s} \] verwandten Hülfssätzen der allgemeine Satz enthalten, daß \[ (2)\quad\lim_{s=1}(s-1)M(s)=F=\text{Flächeninhalt der Kurve }C \] ist. Bezüglich dieser “makroskopischen Flächeninhaltsbestimmung” hat Minkowski a. a. O. den weiteren Satz ausgesprochenen, daß \(M(s)\), analog dem Riemannschen \(\zeta (s)\), eine in der ganzen Ebene, den Punkt \(s=1\) ausgenommen, reguläre Funktion ist, in \(s=1\) aber einen einfachen Pol besitzt, dessen Residuum dann nach (2) eben der Flächeninhalt von \(C\) ist.
Für den Fall einer durchaus analytischen Kurve \(C\) soll nun im folgenden ein Beweis der analytischen Fortsetzbarkeit von \(M(s)\) angegeben werden, aus dem zugleich für \(\lim_{s=1}\left[ M(s)-\frac F{s-1}\right]\) ein Ausdruck resultiert, aus welchem der von Kronecker für die eben erwähnte spezielle Reihe gegebene als einfaches Korollar folgt.”
Wie Epstein zeigt, sind die bei dieser Untersuchung auftetenden Funktionen \[ Z(s,n)=\sum_{a,b}\frac {(a+ib)^n}{(a^2+b^2)^{s+\frac 12 n}}\quad (n=0,4,8,12,\dots ) \] nahe verwandt mit den Funktionen, die er in einer früheren Abhandlung (F. d. M. 34, 461, 1903, JFM 34.0461.02) als Zetafunktionen zweiter Ordnung bezeichnet hatte, sodaß sämtliche von Herglotz gefundenen Eigenschaften der Funktionen \(Z(s,n)\) unmittelbar aus den Eigenschaften jener Funktionen abgeleitet werden können. Dabei wird eine Definition der Funktionen \(Z(s,n)\) mittels gewisser Differentialoperationen benutzt, die sich, wie Epstein in dem zweiten Teil seiner Abhandlung nachweist, in sehr allgemeiner Weise auf Zetafunktionen beliebiger Ordnung übertragen läßt.

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References:
[1] ?Über die analytische Fortsetzung gewisser Dirichletscher Reihen?. Math. Ann. Bd. 61, S. 551. · Zbl 0061.14804
[2] Math. Ann. Bd. 56, S. 615.
[3] Vgl. Minkowski, Geometrie der Zahlen, S. 122 u. S. 198; Journal für Math. Bd. 129, S. 254 ff.
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