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Sur les intégrales simples de première espèce d’une variété algébrique à plusieurs dimensions. (French) JFM 37.0440.01
Wie Picard, Severi, Enriques, Castelnuovo im Jahre 1905 erkannt haben, vgl. F. d. M. 36, 488, 1905, JFM 36.0488.08, besteht zwischen dem Geschlechte einer algebraischen Kurve und der Irregularität einer algebraischen Fläche eine gewisse Ähnlichkeit; Geschlecht und Irregularität geben nämlich die Anzahl der zugehörigen linear unabhängigen einfachen Integrale erster Gattung, und beide Zahlen stehen in engem Zusammenhang zu topologischen Eigenschaften der zugehörigen Riemannschen Kontinua von zwei und vier Dimensionen. Allein diese Analogie gestattet doch nicht ohne weiteres, aus den bekannten Eigenschaften der Abelschen Integrale entsprechende Sätze für die Picardschen Integrale herzuleiten. Man sollte vermuten, daß bei dem Übergang zu algebraischen Funktionen von drei und mehr unabhängigen Veränderlichen sofort neue Schwierigkeiten auftreten, und es ist daher überraschend, daß, wie Castelnuovo und Enriques in der vorliegenden Abhandlung zeigen, wenigstens bei den Picardschen Integralen erster und zweiter Gattung, die zu den betreffenden algebraischen Mannigfaltigkeiten gehören, die Mittel, die man für den Fall von zwei Veränderlichen gewonnen hat, ausreichen, um auch die allgemeineren Fälle zu erledigen. Es gilt nämlich der merkwürdige Satz: Die Anzahl der linear unabhängigen Picardschen Integrale erster Gattung, die zu einer algebraischen Mannigfaltigkeit im Gebiete von drei oder mehr Veränderlichen gehören, ist gleich der entsprechenden Anzahl für eine Schnittfläche der Mannigfaltigkeit; im Gegensatze hierzu besteht keine solche Beziehung zwischen den Picardschen Integralen einer algebraischen Fläche und den Abelschen Integralen einer ebenen Schnittkurve. Aus dem genannten Satze ergeben sich verschiedene wichtige Folgerungen; im besonderen läßt sich zeigen, daß man stets eine algebraische Fläche konstruieren kann, die \(p\) linear unabhängige Picardsche Integrale erster Gattung besitzt, deren \(\frac 12p(p+1)\) Perioden gegeben sind bis auf die Ungleichheiten, die zur Konvergenz der \(p\)-fachen Thetareihen erfordert werden. Im Gegensatz hierzu dürfen bei einer algebraischen Kurve des Geschlechtes \(p\), wenn \(p\) größer als 3 ist, nur \(3p-3\) Perioden willkürlich gewählt werden; die Relationen, die zwischen den \(\frac 12 p(p+1)\) Perioden bestehen müssen, sind jedoch bis jetzt nur für besondere Fälle ermittelt worden.

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Full Text: DOI Numdam EuDML