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Zur Theorie der analytischen Funktion mehrerer unabhängiger Veränderlichen, insbesondere über die Darstellung derselben durch Reihen, welche nach Potenzen einer Veränderlichen fortschreiten. (German) JFM 37.0444.01
Unveränderter Abdruck der 1905 zu München erschienenen Habilitationsschrift, über die bereits ”F. d. M. 36, 483-486, 1905, siehe JFM 36.0483.01,JFM 36.0483.02 u. JFM 36.0483.03”, ausführlich berichtet worden ist.

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References:
[1] Note über analytische Funktionen mehrerer Veränderlichen. Math. Ann. 52 (1899), p. 462. Vgl. a. Encykl. d. math. Wiss. II B1, Nr. 40.
[2] Zweite Note über analytische Funktionen mehrerer Veränderlichen. Math. Ann. 53 (1900), p. 461.
[3] L. c. Zweite Note über analytische Funktionen mehrerer Veränderlichen. Math. Ann. 53 (1900), p. 464.
[4] Über diesen Begriff siehe Peano, Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale (Turin, 1887), p. 153; Jordan, Journal de Math. (4) 8 (1892), p. 77 sowie Cours d’analyse I (1893), p. 28-31; Schoenflies, Entwicklung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten, Jahresber. d. D. M.-V. 8 (1900), p. 88 und 91-92.
[5] Ich werde nachträglich darauf aufmerksam gemacht, daß der nämliche Satz ?jedoch unter abweichender Definition des inneren Inhalts ? sich bei W. H. Young (Proc. of London Math. Soc. (2) 1 (1904), p. 28, Theorem 6) ausgesprochen findet. Die dort noch hinzugefügte Aussage, die Gesamtheit der in allenP v vorkommenden Punkte bilde eine Menge vom inneren Inhalt ?g, verliert hingegen bei der hier adoptierten Peano-Jordanschen Inhaltsdefinition ihre Gültigkeit (vgl. Beisp. 3 in Fußn.
[6] Bedeutet dagegenQ v das volle Flächenstückf mit alleinigem Ausschluß der Punktep 1,p 2, ...,p v, so hat mana v=f, a=0 und somita<lima v. p. 7); nurvom äußeren Inhalt jener Menge läßt sich hier das Entsprechende behaupten. (S. Nr. 3.) mit alleinigem Ausschluß der Punktep 1,p 2, ...,p v, so hat mana v=f, a=0 und somita<lima v. p. 7); nurvom äußeren Inhalt jener Menge läßt sich hier das Entsprechende behaupten. (S. Nr. 3.)
[7] Dieser Satz ist für den Fall, daß jede der Punktmengen aus einer endlichen Anzahl von Teilstrecken einer einzigen geradlinigen Strecke besteht, bereits von Arzelà aufgestellt worden. Rendiconti Acc. dei Lincei (4) 1 (1885), p. 262 und Mem. Acc. Bologna (5) 8 (1899), p. 130.
[8] Math. Ann. 53 (1900) p. 464. (Vgl. die Einleitung.)
[9] Als ?Satz A? ist in der ?Zweiten Note über analytische Funktionen mehrerer Veränderlichen? (Math. Ann. 53, p. 461) derjenige bezeichnet, welcher sich von dem an die Spitze dieses Paragraphen gestellten Satze dadurch unterscheidet, daß noch weiterhin vorausgesetzt wird,F(x, y) bleibe im betrachteten Gebiete unterhalb einer endlichen SchrankeG. (Der Beweis desselben [Math. Ann. 52, p. 462] gestattet noch eine kleine formale Vereinfachung, welche sich ergibt, indem man [p. 463] an Stelle des Wertes |?(x,y)??(x,y?)| direkt |?(x,y)??(x,0)=f m (x).)
[10] IstP 1,P 2, ... eine Reihe ebener Punktmengen, von denen jede in der folgenden enthalten ist, und sind alle Punkte einer KreisflächeC an denselben beteiligt, so gibt es stets einen zweidimensionalen TeilbereichB vonC, welcher von einer der Punktmengen (und also auch von allen folgenden) überall dicht erfüllt wird. (Math. Ann. 53, p. 462.)
[11] Über die exakte Bedeutung, in welcher dieser Ausdruck gebraucht ist, vgl. p. 10, Fußn.
[12] Daß der ?Satz A? auch für beliebig viele Veränderliche gültig ist, wurde bereits von Herrn Osgood ausdrücklich bemerkt (Math. Ann. 52, p. 464).
[13] Siehe p. 13, Fußn.
[14] Herrn Osgood Math. Ann.
[15] Acta Math.6 (1885), p. 247. · JFM 17.0573.02
[16] Vgl. z. B. p. 25, Fußn.
[17] Acta Math.6 (1885), p. 247. · JFM 17.0573.02
[18] Bei dem p. 25, Fußn.
[19] Vgl. p. 31, Fußn. Herrn Osgood (Ann. of Math. (2)3 (1901).
[20] Näheres sowie Literatur hierüber vgl. § 12, 3.
[21] Denn das in der Definition der Größe ? vorkommende Integral bleibt, solangeX 0 sich in einer gewissen Umgebung des Punktese i a befindet, sicher unterhalb einer endlichen Schranke. ? Das nämliche ergibt sich übrigens auch leicht ohne Benutzung des Ausdrucks für ? sowohl aus der von H. A. Schwarz (Ges. Abh. II, Berlin 1890, Zusatz p. 360-361) wie auch aus der von C. Neumann (Abelsche Integrale, 2. Aufl., Leipzig 1884, p. 410) angegebenen geometrischen Interpretation des Poissonschen Integrals. Nach der ersteren ist 2?? die Länge desjenigen Bogens des Einheitskreises, dessen Endpunkte mit den PunktenX 0 unde i ?, bzw.e i ? in gerader Linie liegen; nach der letzteren die doppelte scheinbare Entfernung der Punktee i ? unde i ? für den StandortX 0, vermindert um den zugehörigen Zentriwinkel ?+2???.
[22] Siehe p. 25, Fußn. Acta Math. 6 (1885), p. 247.
[23] S. § 7,1 (p. 32). Die hier bewiesene Eigenschaft wird in § 12 direkt hergeleitet und der Nachweis geführt, daß sie (in Gemeinschaft mit der Monotonie von ?(r)) für die Funktion ?(r) charakteristisch ist.
[24] S. § 5,3 (p. 24) sowie p. 32, Fußn. Herrn Osgood (Ann. of Math. (2)3 (1901).
[25] Im Einkland mit der bisherigen Bezeichnungsweise (vgl. z. B. § 5,3).
[26] Vgl. z. B. Hernn Osgood Ann. of Math. (2) 3 (1901). p. 39.
[27] Vgl. die Bemerkung in Fußn., Hernn Osgood Ann. of Math. (2) 3 (1901). p. 40.
[28] Vgl. hierüber A. Schoenflies, Jahresber d. D. M.-V. 8 (1899), p. 51-52. Die Gültigkeit fürbeliebige abgeschlossene Mengen ist leicht nachzuweisen. (Vgl. d. Verf. I.-D., München 1903, § 18.)
[29] Ein derartiges System von Bedingungen ist z. B., daßk x inT endliche und stetige partielle Ableitungen erster Ordnung nachu undv besitze, oder auch, daß ?V x existiere und stetig sei. (Siehe z. B. Kronecker, Vorl. üb. d. Th. d. einfachen und d. vielfachen Integrale, Leipzig 1894, XVI §§ 7-8.)
[30] S. p. 27, Fußn.
[31] Vorl. üb. d. Th. d. einfachen und d. vielfachen Integrale, Leipzig 1894, XVI §§ 7-8.)
[32] Nach einer Schlußweise, welche der p. 13, Fußn.
[33] Vorl. üb. d. Th. d. einfachen und d. vielfachen Integrale, Leipzig 1894, XVI §§ 7-8.) angeführten völlig analog ist (oder auch direkt als Folgerung aus genannter Fußnote).
[34] Zum Unterschied von den ReihenS(x, y) (speziell von denZeilenreihen der Potenzreihen zweier Veränderlichen), bei welchen jener Bereich nicht zusammenhängend zu sein braucht, und welche infolgedessen in verschiedenen Teilen desselben verschiedene analytische Funktionen darstellen können. Vgl. p. 31, Fußn. Vorl. üb. d. Th. d. einfachen und d. vielfachen Integrale, Leipzig 1894, XVI §§ 7-8.)
[35] Oder auch aus der Theorie der Potenzreihen zweier Veränderlichen; vgl. p. 29, Fußn. Vorl. üb. d. Th. d. einfachen und d. vielfachen Integrale, Leipzig 1894, XVI §§ 7-8.)
[36] Herr O. Blumenthal hatte die Freundlichkeit, mich noch während der Drucklegung darauf aufmerksam zu machen, daß dieser Satz sowie der größere Teil der daran geknüpften Folgerungen bereits von E. Fabry (Sur les rayons de convergence d’une série double, Comptes Rendus, t 134 (1902) p. 1190) mitgeteilt worden sind, so daß nur die Betrachtungen von Nr. 5 als wesentlich neu gelten können.
[37] Der erste und der (im wesentlichen damit gleichbedeutende) dritte der nachfolgenden Sätze sind bereits von den Herren A Meyer und Phragmén bewiesen worden: A. Meyer, Om konvergensområdet hos potensserier af flere variabler (Upsala, 1887); Om kontinuitet hos konvergensområden (Öfv. af k. Vetenskaps-Akad Förh, Stockholm 1883). Phragmén, Om konvergensområdet hos potensserier af två variabler (Ebenda.)
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