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Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten. (German) JFM 37.0445.01

Die Arbeit ist eine ausführliche Darstellung von Untersuchungen, die der Verf. 1878 und 1899 in den Sitzungsberichten der Erlanger physikalisch-medizinischen Gesellschaft skizziert hat. Zwischen einer Mannigfaltigkeit \(y_1,\dots ,y_n\) von \(n\) Dimensionen und einer Mannigfaltigkeit \(t_0,t_1,\dots ,t_n,\xi_1,\dots ,\xi_p\) von \(n+1+p\) Dimensionen sei durch die Gleichungen: \[ y_i=f_i(t_0,t_1,\dotsm , t_n,\xi_1,\dotsm , \xi_p)\quad (i=1,\dotsm ,n) \] eine Beziehung hergestellt, wo die \(f_i\) eindeutige und stetige Funktionen ihrer Argumente sind. Der Verf. betrachtet nun alle Wertsysteme \(t,\xi\), bei denen die \(\xi\) feste Werte haben: \(\xi_{\chi}=b_{\chi}\), während die \(t\) an die Gleichung: \[ (t_0-a_0)^2+(t_1-a_1)^2+\dotsm +(t_n-a_n)^2=b^2 \] gebunden sind, bei konstanten \(a_0,a_1,\dotsm ,a_n\) und genügend kleinem \(a\); er betrachtet also mit anderen Worten alle Punkte einer \(n\)-fach ausgedehnten Kugel vom Halbmesser \(a\) in dem \((n+1)\)-fach ausgedehnten Raume \(t_0,t_1,\dots ,t_n\). Gelingt es nachzuweisen, daß zwei verschiedenen Punkten dieser Kugel dasselbe Wertsystem \(y_1,\dotsm ,y_n\) entspricht, daß also \(n\) stetige und eindeutige Funktionen des Orts auf einer \(n\)-dimensionalen Kugel stets unendlich viele Wertsysteme mindestens zweimal annehmen, so ist damit gezeigt, daß eine gegenseitig eindeutige und stetige Abbildung zwischen jenen beiden Mannigfaltigkeiten von \(n\) und von \(n+1+p\) Dimensionen nicht möglich ist. Dieser Nachweis wird nun vom Verf. für \(n=1,2\) und 3 geführt.

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References:

[1] Peano hat in dem Buche ?Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale? (Torino 1887), pag. 302, schon solche Punkte betrachtet.
[2] Vgl. Peano, Math. Ann., Bd. 37, S. 199, Prop. 8.
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