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Theorie des Integrallogarithmus und verwandter Transzendenten. (German) JFM 37.0454.01
Leipzig: B. G. Teubner. VI u. 104 S. \(8^{\circ}\) (1906).
Schon Soldner, von dem die Bezeichnung Integrallogarithmus herrührt, wies auf eine merkwürdige Analogie zwischen dem Integrallogarithmus \(\text{li}(e^{-x})\) und der Krampschen Transzendente \(L(x)\) hin. Es handelte sichum gewisse Kettenbruchentwicklungen. Später fand Schlömilch den inneren Grund dieser Analogie. Er zeigte nämlich, daß beide Transzendenten Spezialfälle einer und derselben Funktion \(Q(x,\nu )\) von zwei Veränderlichen sind. Diese Funktion ist die Differenz von \[ \varGamma (\nu )=\int_0^{\infty}e^{-t}t^{\nu -1}dt\text{ und }P(x,\nu )=\int_0^xe^{-t}t^{\nu -1}dt, \] und zwar hat man \[ \text{li}(e^{-x})=-Q(x,0),\quad L(x)=\frac 12Q(x^2,\frac 12). \] Die Untersuchung von \(Q(x,\nu )\), als Funktion von \(x\) betrachtet, bietet für die Ausbildung einer systematischen Theorie der beiden erwähnten Transzendenten offenbare Vorteile. Viele Eigenschaften dieser Transzendenten ergeben sich, wie die Schrift des Verf. zeigt, mit einem Schlage aus allgemeineren Eigenschaften der \(Q\)-Funktion. Eine solche systematische Untersuchung mußte natürlich auch eine Reihe neuer Resultate zutage fördern.
Ein wertvolles Literaturverzeichnis ist dem Buche angefügt; auch die Anwendungen auf Zahlentheorie, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Physik sind dabei berücksichtigt.
Was die rechnerische Seite anbetrifft, so bemängelt der Verf. mit Recht die vorhandenen Tafeln und fordert die Aufstellung solcher, in denen die Logarithmen der Funktionswerte angegeben sind.

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