×

zbMATH — the first resource for mathematics

Sur l’extension à l’espace du théorème des polygones de Poncelet par des ployèdres de genre un. (French) JFM 37.0497.03
Die Untersuchungen in den genannten Arbeiten stehen zueinander in enger Beziehung. Bei beiden Autoren handelt es sich um Figuren, welche von 17 (wenn man kollineare Gebilde nicht unterscheidet, von 2) Parametern abhängig sind. Nur sind Ausgangs- und Betrachtungsweise verschieden. Fontené stellt an die Spitze seiner Arbeit die Definition des “vollständigen windschiefen Oktuples” (octuple gauche complet). Hierunter versteht er ein System von 4 Punktepaaren – sie mögen \(A_+,A_-,B_+,B_-,C_+,C_-,D_+,D_-\) heißen – von solcher Art, daß je 4 Punkte \(A,B,C,D\), bei denen das Produkt der als Indizes angehängten Vorzeichen + ergibt, in einer Ebene liegen. Die Figur der so erhaltenen 8 Ebenen ist zu der der 8 Punkte dual. – Gallucci geht von 8 Geraden \(a_1,a_2,a_3,a_4,b_1,b_2,b_3,b_4\) aus, die zu 4 und 4 den beiden Regelscharen einer Fläche zweiter Ordnung angehören. Es seien mit \(A_{ik}\) und \(\alpha_{ik}\) Schnittpunkt und Verbindungsebene der Geraden \(a_i\) und \(b_k\) bezeichnet. Aus den Schnittpunkten \(A_{ik}\), deren Zeichen wir uns als quadratische Matrix \((A_{ik})\) angeordnet denken, kann man 18 Oktupel der oben bezeichneten Art bilden. Man braucht dazu und irgend eine Untermatrix von \(2\times 2\) Elementen, z. B. \(\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix} \) und ihre Adjungierte \(\begin{matrix} A_{33} & A_{34} \\ A_{43} & A_{14} \end{matrix}\), herauszugreifen; die den übrigen Elementen von \((A_{ik})\) entsprechenden Elemente der Matrix \((\alpha_{ik})\), also \(\begin{matrix} \alpha_{13} & \alpha_{14} \\ \alpha_{23} & \alpha_{24}\end{matrix} ,\begin{matrix} \alpha_{31} & \alpha_{32} \\ \alpha_{41} & \alpha_{42}\end{matrix}\), stellen die zu dem Punktoktupel gehörigen Ebenen dar. – Geht man andererseits von dem Oktupel \(A_+\dots D_-\) aus, so zerfallen die 24 Geraden, welche je zwei durch verschiedene Buchstaben bezeichnete Punkte verbinden, in drei Gruppen, deren jede aus 4+4 den beiden Regelscharen einer Fläche zweiter Ordnung angehörigen Geraden besteht. Die drei Gruppen entsprechen den drei Möglichkeiten, 4 Elemente \(A,B,C,D\) zu zwei Paaren anzuordnen; eine von ihnen besteht aus den 4+4 Geraden \(A\; B_+,A_-B_-,C_+D_-,C_-D_+\) und \(A_+B_-,A_-B_+,C_+D_+,C_-D_-\). – Die Punkte (und Ebenen) eines Oktupels lassen sich (auf vierfache Weise) in zwei Tetraeder anordnen, die einander in der von Möbius angegebenen Weise ein- und umbeschrieben sind. Faßt man vier Punkte \(A,B,C,D\), bei denen das Produkt der als Indizes angehängten Vorzeichen minus ergibt, zu einem Tetraeder, die vier übrigen zu einem zweiten zusammen, so hat man ein solches Möbiussches Paar, sowie auch umgekehrt ein solches Paar auf die Figuren von Fontené oder Gallucci führt. – Während sich die Möbiusschen Tetraeder bei beiden Autoren finden, beschäftigt sich Gallucci allein mit der hyperboloidischen Lage von Tetraedern (bei welcher die Verbindungsgeraden homologer Ecken einer Regelschar angehören). Er bemerkt, daß zwei Möbiussche Tetraeder dreifach hyperboloidisch liegen, ferner, daß das Punktoktupel sich auf dreifache Weise in zwei vierfach hyperboloidisch gelegene Tetraeder spalten läßt. Dabei erhält man im letzteren Falle aus einer hyperboloidischen Lage die übrigen, vermittelst der Umtauschungen der anharmonischen Gruppe.
Aus den 16 Punkten \(A_{ik}\) lassen sich 6 Gruppen von je vier Tetraedern bilden, derart, daß je zwei Tetraeder einer solchen Gruppe in der angegebenen Weise vierfach hyperboloidisch liegen. Faßt man nämlich \((A_{ik})\) als Matrix einer symbolischen Determinante auf, so stellen die 24 Determinantenterme Tetraeder dar. Wendet man nun auf die Kolonnenindizes eines Terms, z. B. \(A_{11}A_{22}A_{33}A_{44}\), die Vertauschungen der anharmonischen Gruppe an, so stellen die entstehenden Terme \((A_{12}A_{21}A_{34}A_{43}\), \(A_{13}A_{24}A_{31}A_{42}\), \(A_{14}A_{23}A_{32}A_{41})\) Tetraeder in vierfach hyperboloidischer Lage dar. Ein System von vier Tetraedern in solcher Lage bezeichnet Gallucci als tetraedrale Konfiguration erster Art. Ersetzt man in diesem System jeden Punkt \(A_{ik}\) durch die Ebene \(\alpha_{ik}\), so erhält man wiederum eine tetraedrale Konfiguration, die “konjugierte” der ersteren. Beide haben dasselbe System von Kanten. Zwei Terme \(A_{11}A_{22}A_{33}A_{44}\), \(A_{12}A_{23}A_{34}A_{41}\), welche durch zyklische Permutation der Kolonnenindizes auseinander hervorgehen, stellen ebenfalls Tetraeder in vierfach hyperboloidischer Lage dar, wobei jedoch aus der einen Lage die anderen durch zyklische Vertauschung der Ecken gewonnen werden. Vier Terme, welche durch Wiederholung derselben zyklischen Permutation der Kolonnenindizes auseinander entstehen, stellen eine “tetraedrale Konfiguration der zweiten Art” dar.
Neben der allgemeinen, von 17 Parametern abhängigen Figur studiert Gallucci noch den speziellen Fall, daß die Doppelverhältnisse \((a_1\,a_2\,a_3\,a_4)\) und \((b_1\,b_2\,b_3\,b_4)\) einander gleich, und endlich den Fall, daß sie beide \(=-1\) sind, und untersucht die Beziehungen der so spezialisierten Figur zu bekannten Konfigurationen.
Fontené führt seine Untersuchungen in einer anderen Richtung weiter und gelangt zu Ergebnissen, welche für die Polyedertheorie von Interesse sind. Er bemerkt zunächst, daß, wenn man von den oben erwähnten drei Gruppen, in welche die 24 Verbindungsgeraden der Punkte \(A_+,\dots ,D_-\) zerfallen, die eine fortläßt, die übrigen 16 Geraden mit den 8 Punkten und den zugehörigen 8 Ebenen das System der Kanten, Ecken und Flächen eines Polyeders \(\mathfrak P\) vom Geschlecht 1 darstellen. Dasselbe ist “tetragonal”, d. h. es setzt sich aus lauter Vierecken und vierseitigen Ecken zusammen. Fontené zeigt, daß jedem System von drei positiven Zahlen \(p\geq 2\), \(q\geq 2\), \(r\) ein bestimmtes tetragonales Polyeder vom Geschlecht 1 entspricht. Zur Bezeichnung der Ecken eines solchen können wir uns (indem wir von der Fontenéschen Bezeichnung abweichen) der komplexen Zahlen \(a+bi\) bedienen, in denen \(a\) und \(b\) ganz sind, mit der Maßgabe, daß \(a+ib\) und \(c+di\) denselben Punkt bezeichnen, wenn sie modulis \(p-qi\), \(pr\) kongruent sind. Je vier Punkte \(a+bi\), \((a+1)+bi\), \((a+1)+(b+1)i\), \(a+(b+1)i\) liefern dann ein Viereck des Polyeders. Ob durch die Polyeder dieser Art alle tetragonalen erschöpft sind, bleibe dahingestellt. Das durch die Zahlen \(p,q,r\) charakterisierte Polyeder hat \(pqr\) Ecken und \(pqr\) Flächen, zwischen denen \(4pqr\) Inzidenzen stattfinden, so daß man erwarten kann, daß es von \(6pqr-4pqr=2pqr\) Parametern abhängt. Im Falle des aus dem Oktupel abgeleiteten Polyeders, welches den Werten \(p=2\), \(q=2\), \(r=2\) entspricht, erhöht sich aber diese Zahl um 1, und dasselbe gilt, wie der Verf. schon bei früherer Gelegenheit bemerkt hatte, im Falle \(p=3\), \(q=3\), \(r=1\). Er weist nunmehr nach, daß für \(r=1\) der eben erwähnte Ausnahmefall der einzige ist.
Weitere Untersuchungen Fontenés über das Oktupel und das aus ihm gebildete Polyeder \(\mathfrak P\) beziehen sich auf die Fälle, in denen diese Figur noch weiteren Bedingungen unterworfen ist, als da sind: einer Kurve vierter Ordnung erster Art einbeschrieben, eventuell außerdem noch einer Fläche zweiter Ordnung umbeschrieben zu sein, oder einer Fläche zweiter Ordnung ein-, einer zweiten umbeschrieben zu sein. Auch in diesen Fällen zeigt es sich, daß die Anzahl der Parameter, von denen die Figur abhängt, anders ausfällt, als die erste rohe Abschätzung erwarten läßt. Bei diesen Untersuchungen stützt sich der Verf. auf einige Resultate von Humbert und Bricard.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Numdam